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7.000 EUR mtl. um x% reduzieren = Gesamtsumme?

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: abschreibung, Finanzmathematik, Prozentrechnung, Tilgung, Tilgungsplan, Tilgungsrechnung

nixkapieren aktiv_icon

22:33 Uhr, 13.01.2022

Hallo Forum,

ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen, finde im Internet aber nur "Tilgungsrechner" bei denen der Gesamtbetrag schon feststehen muss.

Aufgabe:
Der Betrag von

7.000

EUR soll monatlich an einen Kunden gezahlt werden. Jeden Monat reduziert sich dieser Betrag um Variante

A = 1,4 %

und Variante

B = 1,25 %

. Wie viele Monate dauert es, bis die letzte Zahlung erfolgt? Wie hoch ist die Gesamtsumme die somit gezahlt wird? Wie hoch ist die jeweilige Summe in jedem einzelnen Monat?

Wie kann ich das einfach und praktisch berechnen, OHNE mit Zettel, Stift und Taschenrechner jeden einzelnen Monat per Hand zu berechnen?

Gerne auch eine Formel für OpenOffice Calc oder eine Quelle für einen anwendbaren Rechner im Internet, da ich den Fall auch gerne mit anderen Prozentzahlen der monatlichen Reduzierung durchrechnen würde.

Vielen Dank für jede Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Prozentrechnen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Prozentrechnung - Einführung

michaL aktiv_icon

22:53 Uhr, 13.01.2022

Hallo,

Rückfrage:
Wodurch definiert sich die "letzte" Zahlung?

Geht es darum, dass die Tatsache, dass immer wieder der Auszahlungsbetrag mit dem gleichen Faktor verkleinert wird und dadurch irgendwann unterhalb von einem Cent liegt?

Mfg Michael

nixkapieren aktiv_icon

23:07 Uhr, 13.01.2022

Hallo, guter Hinweis.

Die letzte Zahlung wäre erreicht, wenn der monatliche Zahlungsbetrag unter

0,01

EUR fällt.

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04:13 Uhr, 14.01.2022

7000 \cdot {0,986}^{n} = 0,01

n = \frac{ln 0,01}{ln (\frac{0,01}{7000})}

n = 954,6

Monate, wenn der Betrag von

7000

monatlich um

1,4 %

reduziert wird.

Oder meinst du, dass

7000

Euro in monatlich fallenden Raten abbezahlt werden sollen?

Das erscheint mir sinnvoller, da

954

Monate fast

80

Jahre sind.

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04:31 Uhr, 14.01.2022

Hallo,

die Ungleichung

7000 \cdot 0, 98 6^{n - 1} < 0, 01

. Eine Abnahme von

1, 4 % = 0, 014

ergibt den Faktor

1 - 0, 014 = 0, 986

.

Der ausgezahlte Betrag an den Kunden im Monat

n

ist

7000 \cdot 0, 98 6^{n - 1}

. Diese Formel kann man einfach in z.B. OpenOffice Calc eingeben.
Diese Ungleichung kann man nach

n

auflösen.

7000 \cdot 0, 98 6^{n - 1} < 0, 01 ∣ : 7000

0, 98 6^{n - 1} < \frac{0, 01}{7000} ∣ \ln ()

Logarithmieren

\ln (0, 98 6^{n - 1}) < \ln (\frac{0, 01}{7000})

(n - 1) \cdot \ln (0, 986) < \ln (\frac{0, 01}{7000}) ∣ : \ln (0, 986)

\ln (0, 986) < 0

dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

n - 1 > \frac{\ln (\frac{0, 01}{7000})}{\ln (0, 986)} ∣ + 1

n > \frac{\ln (\frac{0, 01}{7000})}{\ln (0, 986)} + 1

Auch die Formel kann man in OpenOffice Calc eingeben, also

= (\ln (\frac{0.01}{7000})) / (\ln (0.986))

Mit Zellbezug:

= (\ln (\frac{a 1 / 100}{b 1})) / (\ln (1 - c 1))

a 1 :

Schwellenwert, hier

0, 01

b 1 :

Anfangszahlung

c 1 :

Abnahmerate in Prozent, im Beispiel

1.4

__________________________________________

Die Summe der Zahlungen bis Monat

n

ist

7000 \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} 0, 98 6^{n - 1} = 7000 \cdot \frac{1 - 0, 98 6^{n}}{1 - 0, 986} = 7000 \cdot \frac{1 - 0, 98 6^{n}}{0, 014}

Hinweis: Partialsumme einer Geometrischen Reihe.

Gruß
pivot

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04:42 Uhr, 14.01.2022

@supporter
Wie löst du nach

n

auf? Ich muss nachfragen, da man es bei dir nie nachvollziehen kann.

Korrektur: Es soll heißen

Auch die Formel kann man in OpenOffice Calc eingeben, also

= \ln (\frac{0, 01}{7000}) / \ln (0.986) - 1

Mit Zellbezug:

= \ln (\frac{a 1}{b 1}) / \ln (1 - c 1 / 100)

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05:24 Uhr, 14.01.2022

"Wie löst du nach

n

auf?"

Du machst doch dasselbe.
Ich verstehe deine Frage nicht und die Pauschal-Kritik ebensowenig.
Das NIE nehme ich dir übel! Unverschämtheit!

: (

Ich liefere Lösungen zum Nachdenken, meist mit ausführlichen Schritten.
Zudem kann man nachfragen.

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06:20 Uhr, 14.01.2022

>>Du machst doch dasselbe.<<
Nein. Das sehe ich nicht mal ansatzweise.

>>Ich liefere Lösungen zum Nachdenken, meist mit ausführlichen Schritten.<<
Sicher, rechnerische Komplettlösungen postest du gerne. Du erläuterst aber deine Schritte so gut wie nie. Ehrlich gesagt habe ich in all der Zeit gedacht, dass du mehr zu den Rechenschritten erklärst. Aber das war bis jetzt vergebens. Es ist einfach nicht Sinn und Zweck von onlinemathe kommentarlos irgendwelche Rechenschritte bis zur Komplettlösung zu posten. Ausnahmen bestätigen die Regel ;-)

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06:41 Uhr, 14.01.2022

Bisher hat sich kaum ein Anfrager bei mir beklagt.
Das machen komischerweise nur gewisse Kollegen.
Woran das wohl liegen mag?

Meine Lösungen sind selbsterklärend, wenn man nachdenkt. Dazu soll das Forum auch anregen.
Rumeiern führt auch nicht immer zum Ziel, sondern verwirrt oft (nachweislich nicht
nur bei rundblick).

SUA CUIQUE VIA ET RATIO! :-)

HAL9000

08:36 Uhr, 14.01.2022

@supporter

Zumindest hast du oben die seltsame Auflösung

n \overset{? ? ?}{=} \frac{\ln 0, 01}{\ln (\frac{0, 01}{7000})}

anstelle von

n = \frac{\ln (\frac{0, 01}{7000})}{\ln 0, 986}

gepostet, die man schlicht als falsch bezeichnen muss - vielleicht hat das zu ein wenig Verwirrung geführt. Da du anschließend dann doch mit der richtigen rechten Formel weiter rechnet, war das wohl nur ein Schreib-Blackout, der auf diese eine Zeile beschränkt blieb.

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08:45 Uhr, 14.01.2022

"war das wohl nur ein Schreib-Blackout, der auf diese eine Zeile beschränkt blieb."

So ist es.
Ich korrigiere:

\frac{ln (\frac{0,01}{7000})}{ln 0,986}

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15:46 Uhr, 14.01.2022

Hallo,

erstmal vielen Dank für die Bemühungen und Hilfestellung in der Sache.

Verstanden habe ich es aber gar nicht.

Dem Kunden soll JEDEN Monat ein Betrag ausgezahlt werden, welcher sich mit jeder Zahlung

z . B

. um

1,4 %

(bezogen auf die erste Zahlung) reduziert.

Monat 1: Zahlung von

7.000

EUR an den Kunden
Monat 2: Zahlung von

6 . 902,00

EUR

(- 1,4 %

bezogen auf die 1. Zahlung

= 98

EUR)
Monat 3: Zahlung von

6 . 804,00

EUR

(- 1,4 %

bezogen auf die 1. Zahlung

= 98

EUR)
Monat 4: Zahlung von

6 . 706,00

EUR

(- 1,4 %

bezogen auf die 1. Zahlung

= 98

EUR)
usw.

Die Letzte Zahlung ist erfolgt, wenn die Forderung des Kunden

0,00

EUR sind.

Wie Hoch ist Gesamtsumme, die an den Kunden ausbezahlt wird?
Wie viele Monate dauert es?

Wie wäre die Formel um es in Open Offiece Calc auch mit anderen Prozentwerten zu berechnen?

Ich bitte um Entschuldigung, das ich meine Eingangsfrage falsch und ungenau gestellt habe. Mir war selber noch nicht ganz klar, worauf sich die prozentuale Reduzierung jeweils beziehen soll.

Danke und schönes Wochenende.

HAL9000

15:56 Uhr, 14.01.2022

Das ist natürlich eine wichtige Information, dass sich die Prozentzahlen auf die Ausgangs- statt die Restsumme bezieht.

Zins- und Zinseszins scheinen hier keine Rolle zu spielen (zumindest finden sich in deinem Text keinerlei Informationen dazu) - scheint also der aktuellen Marktlage zu entsprechen. ;-)

Na dann können genau

⌊ \frac{1}{0.014} ⌋

= 71 Monate jeweils

0.014 \cdot 7000 = 98

Euro ausbezahlt werden. Übrig bleiben dann noch

7000 - 71 \cdot 98 = 42

Euro für den 72.Monat.

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16:42 Uhr, 14.01.2022

Die Gesamtsumme ist eine arithmetische Reihe.
de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe

\frac{7000 - 0}{2} \cdot 71 = 248500

(gerundet)

HAL9000

16:50 Uhr, 14.01.2022

Ok, Aufgabe komplett missverstanden - vergesst meinen letzten Beitrag (naja, zumindest stimmt das mit der Berechnung der Monatsanzahl).

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17:17 Uhr, 14.01.2022

Hallo,

die Gleichung ist

7000 - 0, 014 \cdot 7000 \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} i = 0

(ansteigende Rückzahlung)
Man kann allgemein für die konkreten Werte Parameter einsetzen, z.B.

7000 = K_{0}; 0, 014 = d

K_{0} - d \cdot K_{0} \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} i = 0

Gaußsche Summenformel anwenden.

K_{0} - d \cdot K_{0} \cdot \frac{(n - 1) \cdot n}{2} = 0

Die Gleichung durch

K_{0} \neq 0

teilen.

1 - d \cdot \frac{(n - 1) \cdot n}{2} = 0

- d \cdot \frac{n^{2}}{2} + d \cdot \frac{n}{2} + 1 = 0

d \cdot \frac{n^{2}}{2} - d \cdot \frac{n}{2} - 1 = 0

\frac{d}{2} \cdot n^{2} - \frac{d}{2} \cdot n - 1 = 0

a-b-c-Formel (Mitternachsformel) anwenden. Nur positiver Wert ist ineressant. Wenn beide Werte positiv sind muss man nochmal genauer hinschauen.

n_{1} = \frac{\frac{d}{2} + \sqrt{{(\frac{d}{2})}^{2} + 2 \cdot d}}{d}

Bei nicht-ganzzahliger Lösung abrunden.

Für die konkreten Werte ist die Lösung

n_{1} = \frac{\frac{1}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2 \cdot 0, 014}}{0, 014} = 12, 46 . . .

. Es können 12 Raten gezahlt werden deren Höhe arithmetisch anwächst.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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