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8-te einheitswurzel

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

chamjak aktiv_icon

12:19 Uhr, 14.02.2013

Ich lerne gerade auf eine Klausur und versuche die folgende Aufgabe zu lösen

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen

z^{8} = 1

und zeichnen Sie ein Bild.

Also ich weiß ja
das

z = e^{i} \cdot φ

also schreibe ich erst mal die

1

in Polarform

1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0}

könnt ihr mir jetzt weiterhelfen ich verstehe irgendwie gar nicht, was ich jetzt machen soll?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

12:42 Uhr, 14.02.2013

1 = 1 \cdot (cos

0°+i*sin 0° )

\sqrt[8]{1} = \sqrt[8]{1} \cdot (cos (\frac{2 \cdot k \cdot π}{8}) + i \cdot sin (\frac{2 \cdot k \cdot π}{8})) = cos (\frac{2 \cdot k \cdot π}{8}) + i \cdot sin (\frac{2 \cdot k \cdot π}{8})

k = 0,1,2, ..., 7

Grafische Darstellung: regelmäßiges 8-Eck, Radius 1.
Die Winkel sind jeweils 0°, 45°, 90°,

. .

DerDepp aktiv_icon

12:42 Uhr, 14.02.2013

Hossa ;-)

{(e^{i \cdot \frac{0}{8} \cdot 2 π})}^{8} = e^{i \cdot 0 \cdot 2 π} = 1

{(e^{i \cdot \frac{1}{8} \cdot 2 π})}^{8} = e^{i \cdot 1 \cdot 2 π} = 1

{(e^{i \cdot \frac{2}{8} \cdot 2 π})}^{8} = e^{i \cdot 2 \cdot 2 π} = 1

{(e^{i \cdot \frac{3}{8} \cdot 2 π})}^{8} = e^{i \cdot 3 \cdot 2 π} = 1

{(e^{i \cdot \frac{4}{8} \cdot 2 π})}^{8} = e^{i \cdot 4 \cdot 2 π} = 1

{(e^{i \cdot \frac{5}{8} \cdot 2 π})}^{8} = e^{i \cdot 5 \cdot 2 π} = 1

{(e^{i \cdot \frac{6}{8} \cdot 2 π})}^{8} = e^{i \cdot 6 \cdot 2 π} = 1

{(e^{i \cdot \frac{7}{8} \cdot 2 π})}^{8} = e^{i \cdot 7 \cdot 2 π} = 1

Die nächste "Lösung" wäre wieder mit der ersten identisch, weil in der Gaußschen Zahlenebene der Vollkreis vollendet würde. Der Polarwinkel 0 und der Polarwinkel

2 π

liefern dieselbe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene.

Prinzip verstanden?

chamjak aktiv_icon

23:03 Uhr, 14.02.2013

sehr nett :-) hab das prinzip verstanden.... vielen lieben dank :-)

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