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8. und 9. ableitung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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01:02 Uhr, 30.01.2013

hallo

ich soll von folgender funktion die 8. und 9. ableitung and der stelle

x_{0} = 0

bestimmen:

f (x) = x^{3} \cdot cosh (\frac{x^{3}}{6})

auf den ersten blick sieht das ja gar nicht so schwer aus. aber ich habe es einfach nicht geschafft eine allgemeine formel für

f^{(k)} (x)

zu finden. denn 8 bzw. 9 mal von hand abzuleiten wäre ja definitiv sinnlos. ich hab mir mal überlegt, dass

{cosh}^{(k)}

ja immer

cosh

oder

sinh

ergibt, je nach dem ob

k

gerade oder ungerade ist. weiter verschwindet ja die k-te ableitung von

x^{3}

und

\frac{x^{3}}{6} = x^{3} \cdot \frac{1}{6}

für

k \geq 4

wenn ich das grad richtig gesehen hab. aber irgendwie seh ich nicht wie man jetzt von hier weiter machen soll.

wäre froh um etwas hilfe, danke :-P)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

08:15 Uhr, 30.01.2013

Hallo,

habt Ihr vielleicht eine Formel für die k-te Ableitung eines Produkts kennengelernt:

{(f \cdot g)}^{(k)} = \sum_{i = 0}^{k}

binomial(n,k)

\cdot f^{(i)} \cdot g^{(k - i)}

Da kannst Du dann Deine Überlegungen verwenden.

Gruß pwm

anonymous

12:25 Uhr, 30.01.2013

Hallo pwmeyer
Man lernt nie aus! Die Formel ist auch mir neu.
Zur Rückversicherung, ich vermute, da hat sich ein Schreibfehlerchen eingeschlichen.
Ich vermute, das hätte heissen müssen

... = \sum

binomial

[

i über

k] \cdot . .

Bummerang

13:51 Uhr, 30.01.2013

Hallo ihr zwei,

weder noch!!! Schließlich steht im traditionellen Binomialkoeffizienten oben der größere Wert, also

(\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}) . .

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16:53 Uhr, 30.01.2013

hallo, danke für eure antworten. also diese forlmel hab ich (zumindest in dieser form) noch nie gesehen. würde das denn heissen, dass

{(x^{3} \cdot cosh (\frac{x^{3}}{6}))}^{(k)} = \sum_{i = 0}^{k} (\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}) {(x^{3})}^{(i)} {(cosh (\frac{x^{3}}{6}))}^{(k - i)}

also würden für

i > 4

alle summanden 0 werden, da

{(x^{3})}^{(i)} = 0

für

i \geq 4

das heisst wir müssen jweils nur die ersten 4 summanden mit

i = 0,1,2,3

betrachten

also gilt:

f^{(k)} = \sum_{i = 0}^{3} (\begin{matrix} 3 \\ i \end{matrix}) {(x^{3})}^{(i)} {(cosh (\frac{x^{3}}{6}))}^{(3 - i)} =

(\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) {(x^{3})}^{(0)} {cosh (\frac{x^{3}}{6})}^{(8)} + (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) {(x^{3})}^{(1)} {cosh (\frac{x^{3}}{6})}^{(7)} + (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) {(x^{3})}^{(2)} {cosh (\frac{x^{3}}{6})}^{(6)} + (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) {(x^{3})}^{(3)} {cosh (\frac{x^{3}}{6})}^{(5)}

die mühsamen terme sind jetzt all die höheren ableitungen vom

cosh

. ich hab mir jetzt überlegt, dass man diese evt wie folgt vereinfachen könnte:

{cosh (\frac{x^{3}}{6})}^{(i)} = {({cosh (\frac{x^{3}}{6})}^{(1)})}^{(i - 1)} = {(\frac{x^{2}}{3} \cdot sinh (\frac{x^{3}}{6}))}^{(i - 1)}

(Kettenregel)

= \sum_{r = 0}^{i - 1} (\begin{matrix} i - 1 \\ r \end{matrix}) {(\frac{x^{2}}{3})}^{(r)} {sinh (\frac{x^{3}}{6})}^{(i - 1 - r)}

hier sieht man, dass alle summanden ab

r = 3

wieder zu 0 werden da

{(\frac{x^{2}}{3})}^{(3)} = 0

also betrachten wir nur die ersten drei termem für

r = 0,1,2

also gilt:

\sum_{r = 0}^{i - 1} (\begin{matrix} i - 1 \\ r \end{matrix}) {(\frac{x^{2}}{3})}^{(r)} {sinh (\frac{x^{3}}{6})}^{(i - 1 - r)} =

(\begin{matrix} i - 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{x^{2}}{3})}^{(0)} \cdot {sinh (\frac{x^{3}}{6})}^{(i - 1)} + (\begin{matrix} i - 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{x^{2}}{3})}^{(1)} \cdot {sinh (\frac{x^{3}}{6})}^{(i - 2)} + (\begin{matrix} i - 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{x^{2}}{3})}^{(2)} \cdot {sinh (\frac{x^{3}}{6})}^{(i - 3)}

aber irgendwie scheint das nicht sehr hilfreich zu sein, denn so muss man ja den

cosh

trotzdem 8 mal von hand ableiten, was man ja auch direkt machen könnte. also ich fürchte ich komme immer noch nicht drauf :-P)

anonymous

18:04 Uhr, 30.01.2013

Soweit ich es verstehe ist doch ab der 4. Ableitung des Faktors x³ die Ableitung stets Null.

D . h

. alle folgenden Summanden der Summenformel sind Null. Folglich hast du doch eine überschaubare Anzahl

(4)

von Summanden...

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18:31 Uhr, 30.01.2013

aber eben, die 4 summanden seh ich schon, aber da kommen ja dann dafür die 8,7,6,5te ableitungen des

cosh

vor, wie werte ich die aus? :-P)

pwmeyer aktiv_icon

12:03 Uhr, 31.01.2013

Hallo,

entschuldige meinen Druckfeher bei den BinomialKoeffizienten.

Was die Ableitungen von

sinh

angeht, so wechseln sich doch

cosh

und

sinh

immer ab, lässt sich also einfach erfassen.

Gruß pwm

anonymous

12:46 Uhr, 31.01.2013

Hallo nochmal
Ich habe mich nach meinem etwas voreiligen Beitrag gestern

18 : 04 h

jetzt auch nochmals tiefer reingedacht und wie leChat auch erkannt:
Es sind zwar nur 4 Summanden, aber die cosh-Terme werfen aufgrund dessen, dass sie aus der inneren Ableitung des x³ immer wieder nach Ableitung neu x²-Terme aufwerfen, unendlich neu x-Faktoren vor den

cosh -

(und

sinh -)

Termen auf.
Ich fürchte, ich war gestern ein wenig voreilig.
Und ich fürchte, ich stehe nicht Rat-voller da, wie du leChat.
Viel Erfolg weiterhin!

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15:27 Uhr, 31.01.2013

na wenigstens sind meine bisherigen überlegungen richtig, auch wenn ich die lösung immer noch nicht gefunden hab. danke trotzdem für deine hilfe, vielleicht siehts ja jemand anders :-P)

pwmeyer aktiv_icon

17:19 Uhr, 31.01.2013

Hallo,

habt Ihr schon TaylorReihen? Dann kannst Du die TR aus der bekannten Reihe für

cosh

herleiten und die entsprechenden Ableitungen ablesen.

Gruß pwm

anonymous

19:50 Uhr, 31.01.2013

Also wenn es nur um den Zahlenwert geht ( mit GEOGEBRA berechnet )
Ist

f (x) = x^{3} \cdot cosh (\frac{x^{3}}{6})

so hat die 8. Ableitung an der Stelle

x_{0} = 0

den Wert 0
und
die 9. Ableitung an der Stelle

x_{0} = 0

den Wert

5040,

das ist

7!

Die entsprechende Tylorreihe würde so aussehen:

f (x) = x^{3} + \frac{x^{9}}{72} + \frac{x^{15}}{31104} + . .

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15:24 Uhr, 01.02.2013

wie genau kommt man denn darauf? also die reihendarstellung des

cosh

lautet ja:

cosh (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}) \Rightarrow

x^{3} \cdot cosh (\frac{x^{3}}{6}) = x^{3} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{{(\frac{x^{3}}{6})}^{2 n}}{(2 n)!}) = x^{3} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{x^{6 n}}{6^{2 n} (2 n)!}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{x^{6 n + 3}}{6^{2 n} (2 n)!}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{x^{5 n + 3}}{6^{2 n} (2 n)!} \cdot x^{n}) =

\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{x^{5 n + 3}}{6^{2 n} (2 n)!} \cdot {(x - 0)}^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} ((n + 1) \cdot (n + 2) \cdot ... . \cdot (2 n - 1) \cdot (2 n) \cdot \frac{x^{5 n + 3}}{6^{2 n} (n)!} \cdot {(x - 0)}^{n})

mit

T_{n, x_{0}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{(n)!} {(x - x_{0})}^{n}

folgt

f^{(n)} (x_{0}) = (n + 1) (n + 2) ... . (2 n) \cdot \frac{x_{0}^{5 n + 3}}{6^{2 n}}

wäre das in etwa so gemeint?

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