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A-Posteriori Wahrscheinlichkeit diskret und stetig

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: Poisson-Verteilung, Zufallsvariablen

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05:14 Uhr, 06.11.2019

Hallo,

ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, wo ich die A-Posteriori Wahrscheinlichkeit ausreichnen soll.

Gegeben sind:

f_{x} (x) = a \cdot e^{- a \cdot x}, x > 0

P [N = n | X] = \frac{X^{n}}{n!} \cdot e^{- x}

Mein Ansatz ist:

f_{X | N} (X | N) = P (N | X) \cdot \frac{f (x)}{P (N)}

.

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich

P (N)

berechnen soll. Ich habe schon an den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gedacht, aber da

N

unendlich viele Werte annehmen kann, bin ich leider mit dieser Idee nicht weitergekommen.

Hat irgendjemand von euch einen Tipp?

Ich würde mich über jegliche Hilfe sehr freuen!

HAL9000

09:08 Uhr, 06.11.2019

P (N = n)

ist das Integral des Zählers deines Bayes-Bruchs über die Verteilung von

X

, d.h.,

P (N = n) = \int P (N = n ∣ X = x) \cdot f_{X} (x) d x = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} e^{- x} \cdot a e^{- a x} d x

.

Zum Ausrechnen dieses Integrals wählt man zweckmäßigerweise eine geeignete Substitution, welche das Integral in das Definitionsintegral der Gammafunktion überführt.

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16:50 Uhr, 06.11.2019

Vielen Dank! Das ergibt Sinn :-)

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