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A affiner Unterraum von V wenn [...] gilt

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: affiner Unterraum, Vektorraum

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16:02 Uhr, 15.06.2012

Hallo! :-)
Hätte Fragen zu einer Aufgabe:

Also A soll mein affiner Unterraum von

V

sein wenn

\forall a, b \in A

und

\forall λ \in R

die Bedingung

λ a + (1 - λ) b \in A

erfüllt ist.

D.

h

. wenn ich a skalar mit

λ; + b

skalar mit

(1 - λ)

multipliziere soll das wieder in A liegen.

Irgendwie fehlt mir da jetzt eine Idee wie ich das angehen kann, weil ich mir die Bedingung auch anschaulich nicht vorstellen kann.
Habs mal mit dem

R^{1}

und

R^{2}

mit Geraden / Ebenen versucht, aber irgendwie hat das nicht zum Erfolg geführt.

Hätte jemand einen Tipp?

Vielen Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

19:02 Uhr, 15.06.2012

λ \mapsto λ a + (1 - λ) b = b + λ \cdot (a - b)

beschreibt offensichbar die Gerade durch

b

mit Richtungsvektor

(a - b),

was auf die Verbindungsgerade von

a

und

b

hinausläuft (sofern

a \neq b)

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20:49 Uhr, 15.06.2012

Ok, also muss quasi erfüllt sein, dass der Vektor von a nach

b \in A

und damit im affinen Unterraum liegt.
Trotzdem wüsste ich jetzt leider irgendwie nicht wie ich da anfangen sollte?

hagman aktiv_icon

20:55 Uhr, 15.06.2012

Nein, nicht der Vektor

\vec{b a}

muss in A sein, sondern die

a

und

b

enthaltende Gerade.
Wei lautet denn eure Definition von affiner Unterraum?

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21:33 Uhr, 15.06.2012

Achso, ok.
Mhm das würde ich gerne nachschauen, nur ist leider das Uninetzwerk schon seit Stunden down; wenn das wieder online geht schaue ich mal nach.

Weil die Definition auf Wikipedia ist ja (leider) nicht wirklich ausführlich?

So, konnte nochmal nachschauen:

Sei A eine Menge,

V

ein

R

Vektorraum, sodass eine Abbildung

+ : A x V \to A; (a, v) \mapsto a + v

gegeben ist mit den Eigenschaften

1) a + 0 = a

2) a + (u + v) = (a + u) + v \forall a \in A; u, v \in V

3)

Zu beliebigen

a, b \in A

gibt es genau ein

v \in V,

sodass

a + v = b

dann heißt A affiner Raum zu V.

Und der Vektor ab=v ist der Verbindungsvektor von a und

b

hagman aktiv_icon

13:12 Uhr, 16.06.2012

Oookay. (Bist du sicher, dass in der Definition nicht

A \neq \emptyset

gefordert wird?)

Und selbstredend heißt weiter ein affiner Raum

(A', +' A' \times V' \to A')

affiner *Unterraum* vom affinen Raum

(A, + : A \times V \to A),

wenn

A' \subset A

gilt und

V'

Untervektorraum von

V

ist und

+'

die Einschränkung von

+

auf

A' \times V'

ist (also insbesondere

a + v \in' A

für alle

a \in A', v \in V')

. Nihct wahr? So oder ähnlich solltet ihr das definiert haben.

In der Definition von "affiner Raum" ist

A

im Prinzip eine von

V

völlig "unabhängige" Menge.
Man beobachtet dann noch, dass man durch die Wahl

A = V

und "+ = +"

(d . h

. man wählt als Operation auf

A

genau die gegebene Vektoraddition in

V)

jeder Vektorraum auf kanonische Weise zu einem affinen Raum über sich selbst wird.
In diesem Kontext ergibt dann also die Frage ob eine Teilmenge

A \subseteq V

ein affiner Unterraum ist einen Sinn.

- -

Zur Aufgabenstellung:
Eine Richtung:
Sei

A

affiner Raum zu

W \subset V

.
Seien

a, b \in A

und

λ \in ℝ

beliebig gegeben.
Zu zeigen ist, dass

λ a + (1 - λ) b \in A

.
Wegen

a = b + (a - b)

ist

a - b

da nach Bedingung

3)

eindeutig bestimmte Element in

W

zu a und

b,

insbesondere ist

a - b \in W

und somit auch

λ \cdot (a - b) \in W

.
Damit ist dann aber auch

a + (1 - λ) b = b + λ \cdot (a - b) \in A

.
qed

Gegenrichtung:
Sei

A \subseteq V

eine nichtleere Teilmenge mit

λ a + (1 - λ) b \in A

für alle

a, b \in A, λ \in ℝ

.
Zu zeigen ist, dass

(A, +)

ein affiner Raum ist.
Setze zunächst

W := {b - a | a, b \in A}

Behauptung:

W

ist ein Untervektorraum von V.
Hierzu ein Hilfssatz:
Seine

a, b, c, d \in V

mit

b - a = d - c

und es sei

a, b, c \in A

. Dann ist auch

d \in A

. ("Mit drei Ecken eines Parallelogramms ist auch die vierte in A").
Beweis des Hilfssatzes:
Mit

b, c \in A

ist auch

e := \frac{1}{2} \cdot b + (1 - \frac{1}{2}) \cdot c \in A

.
Mit

a, e \in A

ist auch

d = b + c - a = - a + 2 e = (- 1) \cdot a + (1 - (- 1)) \cdot e \in A

.
qed
Beweis der Behauptung, dass

W

Unterraum von

V

ist:

1)

Sei

a \in A

beliebig. Dann ist

0 = a - a \in W,

also

W \neq \emptyset

2)

Sei

w \in W, λ \in ℝ

. Zu zeigen ist, dass

λ w \in W

.
Nach Definition von

W

gibt es

a, b \in A

mit

w = b - a

.
Nach Voraussetzung ist

c := λ \cdot a + (1 - λ) \cdot b \in A

und somit

λ \cdot w = λ \cdot (b - a) = b - c \in W

3)

Sei

w_{1}, w_{2} \in W

. Zu zeigen ist, dass

w_{1} + w_{2} \in W

.
Nach Definition von

W

gibt es

a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} \in A

mit

w_{1} = b_{1} - a_{1}, w_{2} = b_{2} - a_{2}

.
Nach dem Hilfssatz ist mit

b_{1}, a_{2}, b_{2} \in A

auch

b_{1} + b_{2} - a_{2} \in A

und folglich

w_{1} + w_{2} = (b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) = (b_{1} + b_{2} - a_{2}) - a_{1} \in W

.
Damit ist gezeigt, dass

W

Unterraum von

V

ist.
Jetzt zeigen wir, dass A affiner Raum zu diesem Vektorraum

W

ist:

0) +

bildet

A \times W

nach A ab:
Sei a und

w \in W

. Dann folgt für

b, c \in A

mit

a = c - b

wieder mit dem Hilfssatz, dass

d := a + w = a + c - b \in A

1) a + 0 = a

für

a \in A

.
Das ist trivialerweise erfüllt.

2) a + (u + v) = (a + u) + v

für

a \in A, u, v \in W

ist ebenfalls trivialerweise erfüllt, da es sich um die gewöhnliche Vektoraddition in

V

handelt.

3)

Zu beliebigen

a, b \in A

gibt es genau ein

v \in W,

so dass

a + v = b

.
Wir haben

W

extra so definiert, dass

b - a \in W, d . h

. die Existenz solch eines

v \in W

ist gegeben.
Die Eindeutigkeit ergibt sich wiederum aus den Additionsgesetzen in

V :

Aus

a + v_{1} = b

und

a + v_{2} = b

folgt

v_{1} = b - a = v_{2}

.
qed

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13:34 Uhr, 16.06.2012

Unter der Definition steht noch "falls A ungleich der leeren Menge, so heißt

dim A := dim V

die Dimension von A und der Vektor

A = V

.

Mhm ehrlich gesagt finde ich zu affinen Unterräumen von affinen Räumen überhaupt nichts.
Wenn was angesprochen wird sind es affine Untervektorräume, also mit der Form

a + U; a \in V

und

U

Untervektorraum.

Die Sachen zur Aufgabe lese ich mir jetzt mal ganz genau durch, melde mich dann nochmal :-)

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14:13 Uhr, 16.06.2012

Ok, also ich glaube ich hab den Beweis nun halbwegs durchstiegen, aber selbst wäre ich da wohl nie draufgekommen.
Anschaulich bedeutet das doch jetzt, falls die Verbindungsgerade von beliebigen

a, b \in A

wiederum in A liegt, dann muss A ein affiner Raum sein.
Aber warum muss das dann anschaulich so sein?

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17:08 Uhr, 16.06.2012

Noch eine Frage zu was Ähnlichem, bevor ich hier eine neue Frage aufmache:

Muss ich hier einfach die 3 Bed. für einen affinen Unterraum mit

f (a) = λ

überprüfen?

hagman aktiv_icon

18:17 Uhr, 17.06.2012

Jep, das geht aber auch glatt durch.

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18:28 Uhr, 17.06.2012

Glatt durch?

hagman aktiv_icon

18:50 Uhr, 17.06.2012

Am einfachsten geht es natürlich, wenn man weiß, dass

A \subseteq V

genau dann affiner Unterraum des Vektorraums

V

ist, wenn es einen Untervektorraum

W \subseteq V

und einen Vektor

v \in V

gibt mit

A = v + W

.
Hier ist dann

v

eine beliebige Funktion, die

a

auf

λ

abbildet, und

W

der Unterraum der Funktionen, die bei

a

den Wert 0 annehmen

. .

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19:18 Uhr, 17.06.2012

Das müsste man aber vorher aus irgendeinem Satz schon wissen, oder?

Habs jetzt grade mal versucht mit den 3 Bed. für den affinen Unterraum (siehe oben), aber die kann man mit der Aufgabe irgendwie nur schwer überprüfen.

1) a + 0 = a

müsste ja eigentlich trivialerweise gelten, wenn man sich das anschaut.

Das blöde ist jetzt eben, dass man keine konkrete Vorschrift hat, bzw. meine Def. müsste dann ja wie folgt ausschauen:

Sei

U := {f \in V : f (a) = λ}, V

ein

R

Vektorraum, sodass eine Abbildung

+ :

UxV

\to U; (u, v) \mapsto u + v

definiert ist.

Laut der Aufgabenstellung ist das aber nicht der Fall, oder irre ich mich da?

SilverShadow aktiv_icon

16:39 Uhr, 18.06.2012

*schieb* :-)

SilverShadow aktiv_icon

10:59 Uhr, 19.06.2012

Hat sich erledigt, vielen vielen Dank dann nochmal :-)

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