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A ist symmetrisch
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung
 
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Hallo, könnte das stimmen? (siehe Bild mit Angabe) Lösungsvorschlag: Step ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind. Angenommen, A ist positiv definit. Wir möchten zeigen, dass alle Eigenwerte von A positiv sind. Sei λ ein Eigenwert von A und der zugehörige Eigenvektor. Dann gilt: Av=λv Multipliziert man nun beide Seiten mit v^(⊤) (Transponierte von v^(⊤)Av=v^(⊤)(λv) Da A positiv definit ist, gilt v^(⊤)Av v⊤Av>0 für alle v≠0. Daher: λv^(⊤)v Da v^(⊤)v die quadrierte Norm von ist (die immer nicht-negativ ist), können wir schließen, dass λλ positiv sein muss. Step 2: Angenommen, alle Eigenwerte von A sind positiv. Wir möchten zeigen, dass A positiv definit ist. Sei ein nicht-null Vektor in . Wir können als Linearkombination von Eigenvektoren von A ausdrücken (da A symmetrisch ist und diagonalisiert werden kann): x=c1v1+c2v2+…+cnvn wobei v1,v2,…,vnv1,v2,…,vn die Eigenvektoren von A sind und c1,c2,…,cnc1,c2,…,cn Konstanten sind. Betrachten wir nun x^(⊤)Ax: x^(⊤)Ax=(c1v1+c2v2+…+cnvn)^(⊤)A(c1v1+c2v2+…+cnvn) Da A symmetrisch ist und vi^(⊤)vj=0vi⊤vj=0 für i≠j (Orthogonalität der Eigenvektoren), vereinfacht sich dieser Ausdruck zu: x^(⊤)Ax=c12λ1+c22λ2+…+cn2λn wobei λ1,λ2,…,λnλ1,λ2,…,λn die Eigenwerte von A sind. Da alle Eigenwerte positiv sind und ci^2 ebenfalls nicht-negativ ist, ist die Summe c1^2λ1+c2^2λ2+…+cn^2λn streng positiv, es sei denn, alle ci sind null (was nicht der Fall ist, da ein nicht-null Vektor ist). Daher gilt x^(⊤)Ax für alle nicht-null und wir schließen, dass A positiv definit ist. Anwendung des Ergebnisses auf die gegebene Matrix: Betrachten wir die Matrix: Diese Matrix ist bereits diagonal, daher sind ihre Eigenwerte einfach die Diagonalelemente. Die Eigenwerte sind λ1=1 und λ2=2, und beide sind positiv. PS: Ich habe das alles händisch geschrieben, aber konnte es nicht uploaden.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Dein Vorgehen ist gut, ich sehe keinen Fehler Gruß ledum |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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