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A und B kommutieren...

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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kristl91

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11:51 Uhr, 02.01.2012

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Zwei nxn-Matrizen A und B kommutieren miteinander, wenn AB=BA

a) Zeige, dass die Menge {A}' aller Matrizen, die mit einer gegebenen nxn-Matrix A kommutieren, einen Unterraum von K n x n ⁢   bildet. Zeige, dass dieser Unterraum auch bezüglich der Matrixmultiplikation abgeschlossen ist, d.h., B ⁢ ∈   { A } ′ ⁢     ∧   C ⁢   ∈   { A } ′ ⁢     ⇒   B ⁢ ⋅ C ⁢   ∈   { A } ′

b) Bestimme die Menger aller Matrizen, die mit der Matrix ( 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ) kommutieren.

Ich würde mich sehr über eine Hilfestellung freuen!!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Bummerang

Bummerang

13:01 Uhr, 02.01.2012

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Hallo,

für die Unterraumeigenschaft sind ja nur zwei Dinge zu zeigen:

1. Das Nullelement ist in diesem Raum enthalten.
Das ist einfach zu zeigen, dass die Nullmatrix in diesem Raum liegt, denn die kommutiert mit jeder beliebigen anderen Matrix, denn A⋅0=0⋅A=0

2. Jede Linearkombination zweier Matrizen aus der Teilmenge ist ebenfalls in der Teilmenge enthalten.
Seien B und C aus der Teilmenge der Matrizen, die mit A kommutieren und b und c Skalare, dann gilt:

(b⋅B+c⋅C)⋅A    ;     Distributivgesetz anwenden

=(b⋅B)⋅A+(c⋅C)⋅A    ;    (λ⋅M)⋅N=λ⋅(M⋅N)=M⋅(λ⋅N) anwenden

=b⋅(B⋅A)+c⋅(C⋅A)    ;    B und C kommutieren mit A

=b⋅(A⋅B)+c⋅(A⋅C)    ;    (λ⋅M)⋅N=λ⋅(M⋅N)=M⋅(λ⋅N) anwenden

=A⋅(b⋅B)+A⋅(c⋅C)    ;     Distributivgesetz anwenden

=A⋅(b⋅B+c⋅C)

Da auch die linearkombination kommutiert, ist die Teilmenge bzgl Addition und Skalarbildung abgeschlossen und bildet einen Unterraum

Außerdem gilt für B und C, die mit A kommutieren:

(B⋅C)⋅A    ;     Assoziativgesetz anwenden

=B⋅(C⋅A)    ;    C kommutiert mit A

=B⋅(A⋅C)    ;     Assoziativgesetz anwenden

=(B⋅A)⋅C    ;    B kommutiert mit A

=(A⋅B)⋅C    ;     Assoziativgesetz anwenden

=A⋅(B⋅C)

Damit kommutiert mit B und C auch das Produkt B⋅C mit der selben Matrix A

Bei der Teilaufgabe b) solltest Du Dir überlegen, wie sich bei der Multiplikation mit der gegebenen Matrix die Zeilen bzw. die Spalten (je nachdem, ob man nun von links oder von rechts "ranmultipliziert") verändern. Da stelle man dann fest, dass es Elemente im Ergebnis gibt, die einmal direkt und das andere mal negiert übernommen werden. Das funktioniert natürlich nur dann, wenn in der kommutierenden Matrix an dieser Stelle eine Null gestanden hat. Durch diese Überlegung findet man 5 Stellen, die in den kummitierenden Matrizen alle immer Null sein müssen. die restlichen 4 Stellen aber sind beliebig. Versuche es mal selbst!
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