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(AB) adjungiert = B adjungiert * A adjungiert

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: adjungierte Matrix, komplexe Matrix, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, transponiert

gotnoidea aktiv_icon

17:16 Uhr, 09.01.2015

Hi,

wie man dem Titel schon entnehmen kann, versuche ich seit einer Weile

z . Z .,

dass (AB)†=B†A†
Vielleicht erstmal die Aufgabe:

Seien

(., .)

das komplexe Skalarprodukt im

ℂ^{n}

definiert durch

(a, b) = \sum_{j = 1}^{n} a_{j} \bar{b_{j}} \forall a, b \in ℂ^{n}

und

A, B \in ℂ^{n x n}

zwei komplexe Matrizen. Wir nennen

B

die zu A adjungierte Matrix, falls

(v, A w) = (B v, w) \forall v, w \in ℂ^{n}

und schreiben

B =

A†.

Zeigen Sie nun, dass (AB)†=B†A† und A††=A mithilfe des Skalarprodukts und der obigen Definition des Adjungierten.

Mein Hauptproblem ist das Vorgehen, bei diesem Beweis,

v . a

. in der Hinsicht, inwiefern ich die Definition des Adjungierten nutzen kann, um die zu zeigende Gleichung zu beweisen?

Bisher habe ich zwei allgemeine Matrizen

A = {(a_{j k})}_{j, k = 1, . ., n}

und

B = {(b_{k l})}_{k, l = 1, . ., n}

und zwei Vektoren

v = (\begin{matrix} v_{1} \\ . \\ . \\ v_{n} \end{matrix})

und

w = (\begin{matrix} w_{1} \\ . \\ . \\ w_{n} \end{matrix})

aufgestellt und jeweils

A \cdot w

und

B \cdot v

explizit ausgerechnet.

Dennoch ist mir unklar, was ich mit

\sum_{i = 1}^{n} v_{j} \cdot {(\bar{A w})}_{j} = \sum_{k = 1}^{n} {(B v)}_{j} \cdot \bar{w_{j}}

anfangen soll

(B =

A† ) um von (AB)† auf B†A† zu kommen.. Vor allem, wie A und

B

die Seite wechseln - durch was kommt das zustande? ( A†

= \bar{A^{T}}

ist nicht bekannt, Determinanten ebenfalls nicht)

Ich bin dankbar für jede Hilfe und bedanke mich schon mal im Voraus.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

EnterTheMatrix aktiv_icon

19:51 Uhr, 09.01.2015

Hallo,

Du sitzt nicht zufällig auch an den Lina I Aufgaben von der HU-Berlin?
Wir basteln jedenfalls gerade an der selben Aufgabe, wenn sich was ergibt, werden wir unser Wissen mal teilen.

MfG

gotnoidea aktiv_icon

21:21 Uhr, 09.01.2015

Doch, das tue ich zufällig :-D) Sitze schon seit einigen Stunden dran^^
Das ist nett, danke! Gleiches gilt für mich.. Aber ob der Gedankenblitz noch kommt ist fraglich.

LG

edit: Jetzt habe ich zumindest erstmal einen entscheidenden "Hinweis" (eigentlich schon fast die Lösung) gefunden. "DonAntonio" hat der Nachwelt glücklicherweise das hier hinterlassen: math.stackexchange.com/questions/799284/adj-ab-adj-b-adja

Trotzdem rätsel ich noch um die explizite Verwendung des Skalarproduktes aus Aufgabenblatt

8 .

. (die bei

(a)

wohl nicht nötig sein wird - was meinst du/ihr?)

pwmeyer aktiv_icon

16:27 Uhr, 10.01.2015

Hallo,

wenn ich von der von Dir zitierten Definition ausgehe, ist für eine Matrix

C

die adjungierte

C'

(schreibe ich zur Vereinfachung) definiert durch:

(v,Cw)=(C'v,w) (für alle

v, w)

Dan fängt man halt an:

(v, (A \cdot B) w) = (A' v, B w) = ...

.

Gruß pwm

gotnoidea aktiv_icon

16:46 Uhr, 10.01.2015

Aus

(v (A B), w) = (v, (A B)' w)

und

(v, B' A' w) = (B v, A' w) = (A B v, w)

folgt doch

(v, (A B)' w) = (v, B' A' w) \Leftrightarrow (v, ((A B)' - B' A') w) = 0

Nun kann doch einerseits folgen, dass

(A B)' - B' A' = 0

und damit wäre die Aufgabe ja gelöst.
Andererseits kann doch aber auch

v ⊥ ((A B)' - B' A') w

sein, oder nicht?

LG

pwmeyer aktiv_icon

16:57 Uhr, 10.01.2015

Hallo,

Du hast jetzt eine Variante zu meinem Ansatz aufgeschrieben - ok.

Zu Deiner Frage: Die Gleichungen gelten ja für alle

(!) v, w :

\forall v : (v, z) = 0 \Rightarrow z = 0,

denn man kann ja

v = z

wählen.

Gruß pwm

gotnoidea aktiv_icon

17:20 Uhr, 10.01.2015

Danke für die schnelle Antwort. Und hier stoße ich auf ein scheinbar fundamentaleres Verständnisproblem. Wenn die Gleichungen

\forall v, w \in ℂ^{n}

gelten, kann man durchaus

v = z

wählen..aber dann hat man doch alles auf

v = z

beschränkt und nicht

\forall v, w

gezeigt, oder sehe ich das falsch?

LG

edit: Oh man. Es ist ja nur

z . Z .,

dass (AB)'=B'A' und damit kann man natürlich einfach

v = z

wählen.. Nicht richtig nachgedacht.

Vielen Dank für die Hilfe!

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