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ABleitung von x^e^x

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Heavenhell aktiv_icon

21:25 Uhr, 08.03.2013

Guten Tag,

folgende Ableitung gelingt mir nicht so
y=x^e^x

dachte zuerst einmal vereinfachen mit
ln(y) = e^x*ln(x)

ableiten

y = 1/(e^x*1/x+e^x*ln(x)) naja und das ist dann aber schon falsch wisst ihr woran es liegt ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pleindespoir aktiv_icon

21:33 Uhr, 08.03.2013

Kettenregel :

y = x^{e^{x}}

f = x^{g}

g = e^{x}

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21:48 Uhr, 08.03.2013

das hilft mir nicht viel weiter könntest du mir einmal den rechenweg zeigen ?

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22:22 Uhr, 08.03.2013

WEnn ich nun ableite komme ich auf

y=xu und u=e^x

y'=ln(x)*x^(e^x)*e^x da fehlt aber noch ein term wo kommt der denn her ?

lepton

22:29 Uhr, 08.03.2013

Der Gedanke mit der Umformung war doch nicht so verkehrt, du musst deine Umformung unter Beachtung der Kettenregel nur noch richtig ableiten.
Es gilt:

x^{e^{x}} = e^{e^{x} \cdot l n (x))}

Dieses gilt jetzt zu differenzieren.

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22:39 Uhr, 08.03.2013

Also FUnktioniert eine direkte Ableitung mit der Kettenregel von x^e^x garnicht?

man MUSS das vorher umformen? warum ?^^

Respon

22:41 Uhr, 08.03.2013

Wer denkt sich solche Funktionen aus ?

y = x^{e^{x}}

ln (y) = e^{x} \cdot ln (x)

\frac{1}{y} \cdot y' = e^{x} \cdot ln (x) + e^{x} \cdot \frac{1}{x}

Produktregel

\Rightarrow y' = y \cdot e^{x} (ln (x) + \frac{1}{x})

y' = x^{e^{x}} \cdot e^{x} (ln (x) + \frac{1}{x})

Eventuell noch ein wenig "verschönern".

Heavenhell aktiv_icon

22:49 Uhr, 08.03.2013

Na das kann doch nur mein Super Mathe Prof :-D)
Klausuraufgabe, wo ich glaube das diese nicht sehr viele in der Klausur konnten, dies gibs nur an der FH Münster.

ABer danke hab deinen Rechenweg verstanden also war meine erster versuch ja doch schonmal richtig.

eine letzte Frage noch

auf der linken seite wenn ich ln(y) ableite bekommst du (1/y)*y'
woher kommt das y' ? also rein formal wie kommt das da rein ? ist das von wegen kettenregen ln(y)=(1/y)*y' ?

Respon

22:56 Uhr, 08.03.2013

Das ist "implizites Differenzieren" und hat mit der "Kettenregel" zu tun.
Kettenregel: "äußere" Ableitung mal "innere" Ableitung.

z . B

y = sin (x^{2}) \Rightarrow y' = cos (x^{2}) \cdot (2 \cdot x)

Äußere Funktion: sin
Innere Funktion:

x^{2}

In unserem Beispiel sollen wir

ln (y)

ableiten. Das wäre vorerst

\frac{1}{y}

.
Da aber

y

wieder eine Funktion ist ( nämlich unsere Ausgangsfunktion ) muss ich noch mit der - vorerst noch unbekannten - "inneren" Ableitung

y'

multiplizieren.
also

ln (y)

ergibt abgeleitet

\frac{1}{y} \cdot y'

Die rechte Seite ist ja mit der Produktregel klar.

Heavenhell aktiv_icon

23:04 Uhr, 08.03.2013

Ach danke eine Super erklärung endlich hab ich das verstanden danke :-) einen schönen abend noch genug gelernt für heute morgen gehts weiter :-D)

pleindespoir aktiv_icon

21:15 Uhr, 09.03.2013

So, heute ist inzwischen Morgen!

zu Deiner Frage:

"Also funktioniert eine direkte Ableitung mit der Kettenregel von x^e^x garnicht?"

Gegenfrage: Warum sollte dem so sein ?

Kettenregel :

y (x) = x^{e^{x}}

f (g) = x^{g}

g (x) = e^{x}

Jetzt kommen die Ableitungen, die hier extrem schwierig sind:

f ʹ (g) = g \cdot x^{g - 1}

Die Regel ist eine der ersten, die man lernt:
Aus

y (x) = x^{n}

wird

y ʹ (x) = n \cdot x^{n - 1}

g ʹ (x) = e^{x}

Auch diese Ableitung hätte keine Probleme bereiten sollen ...
... dann bauen wir mal zusammen :

y ʹ (x) = f ʹ (g) \cdot g ʹ (x)

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