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(A)Symmetrische Relation/Bijektive Abblidung

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Tags: Funktion, Relation.

 
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Kagegan1337

Kagegan1337 aktiv_icon

04:01 Uhr, 16.01.2018

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Moin moin Leute,
ich brauch mal eure Hilfe bei zwei Fragen zum Thema Relation und Abblidungen. Ich schreib als erste die Frage vom Prof, dann meine Idee und dann die, vom Prof vorgegebene, Lösung.
Es handelt sich um Aussagen die mit wahr oder falsch markiert werden sollen.

1. Relationen:
Es gibt eine Relation, die sowohl symmetrisch als auch asymmetrisch ist.
2. Abbildung:
Seien f:A→B und g:B→C Abbildungen. Wenn wenn g∘f bijektiv, dann ist f surjektiv.

Meine Ideen:
Zu 1.
Es ist zu zeigen das es eine Relation gibt, die sowohl symmetrisch als auch asymmetrisch ist.
Also Symmetrie: ∀(a,b)∈A:(a,b)∈R⇒(b,a)∈R.
Asymmetrie: ∀(a,b)∈A:(a,b)∈R⇒(b,a)∉R
Die einzige Idee die ich dazu habe ist : R=∅
Zu 2.
Laut Definition: Ist eine g∘f eine bijektive Komposition, dann sind auch f und g bijektiv. Daraus folgt doch das f auch surjektiv sein muss.

Antworten vom Prof:
Zu 1.
wahr, also es gibt so eine Relation
Zu 2.
falsch, f ist nicht surjektiv

Vermutlich übersehe ich nur etwas, oder ich verstehe die Formulierung nicht richtig, wäre aber nett wenn mir jemand kurz mit einem Denkanstoß helfen könnte :-)
Gruß
Kagegan
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Bummerang

Bummerang

09:57 Uhr, 16.01.2018

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Hallo,

Beispiel:

A={x∈ℕ (ohne Null) |x ist gerade}

B=ℕ (ohne Null)

C={x∈ℕ (ohne Null) |x ist ungerade}

f= Id (Identität, d.h. f(x)=x)

g= Id für x ist ungerade und Vorgängerfunktion für x ist gerade (g(x)=x-1)

Offensichtlich ist f injektiv aber auf gar keinen Fall surjektiv und ebenso offensichtlich ist g nicht injektiv aber surjektiv!

Was ist gof?

gof(2)=g(f(2))=g(2)=1

gof(4)=g(f(4))=g(4)=3

gof(6)=g(f(6))=g(6)=5

...

Dämmert's? Die Funktion gof ist injektiv und surjektiv! Du kannst also nicht von den beiden Eigenschaften von gof auf ALLE Eigenschaften von f und g schließen! Offensichtlich muss, wenn gof surjektiv ist, auch g surjektiv sein. Aber g muss nicht injektiv sein! g muss nur auf dem Bild von f injektiv sein. Und damit das Ganze injektiv ist, muss auch f injektiv sein, muss aber nicht surjektiv sein, denn die Werte aus B, die nicht im Bild von f liegen, brauchen wir für gof nicht!
Frage beantwortet
Kagegan1337

Kagegan1337 aktiv_icon

11:29 Uhr, 16.01.2018

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Jo, verstanden.
Hatte mich auf die Behauptung von meinem Prof gestützt aber vermutlich falsch interpretiert.
Danke