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A^TA invertierbar <=> voller sp-rang
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit
 
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Hi Wie oben schon geschrieben soll ich zeigen dass gilt: ist invertierbar A hat vollen Spaltenrang kann mir da jemand nen Tipp geben wie ich starten könnte?? lg Jenny Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Was weißt Du über Rang, Invertierbarkeit und so weiter? Ich könnte z.B. den Weg über Determinante vorschlagen, aber weiß nicht, ob Du auf die entsprechenden Resultate zurückgreifen kannst/darst. |
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ich weiß zwar nicht genau was du meinst, aber hier mal paar Sachen.... Ist eine Matrix A invertierbar <=> Spaltenrang = Anzahl linear unabhängiger spalten rang einer Matrix = spaltenrang=zeilenrang ... welches Resultat bräuchte ich denn? und vor allem was kann man folgern ... |
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Da gibt's mehr: 1. 2. 3. Spalten sind linear abhängig Aus diesen drei folgt die Aussage leicht, weil Spaltenrang=Dimension des Raums, erzeugt von Spaltenvektoren, und deshalb gilt: Spaltenrang nicht maximal Spaltenvektoren linear abhängig. Die Frage ist nur, ob Du die 1., 2., 3. kennst und nutzen darfst. |
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ja die kenne ich alle und darf sie auch nutzen... das Problem ist jedoch, die Determinante ist ja nur für quadratische Matrizen definiert , nun muss A aber nicht quadratisch sein, .... dann bringt ja wenig .... klar fürn quadratischen fall wär die Sache schnell durch, aber was ist wenn A eine Matrix ist |
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Hallo, wenn dann: . Gruß pwm |
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.... 1. stimmt das? und 2. was sagt mir das ? |
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Das stimmt. Und sagt Folgendes: , also haben sie den gleichen Kern. Kannst Du daraus was folgern? ;-) |
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wenn invertierbar ist , darf im Kern nur der Nullvektor sein , daraus folgt dann aber dass die Spalten von A lin unabhängig sind.... und das selbe umgekehrt? ;-) noch eine Frage : im schritt was ist wenn mein Vektorraum komplex ist??? dann müsste doch irgendwo ein rein und das würde alles zunichte machen ... |
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"wenn ATA invertierbar ist , darf im Kern nur der Nullvektor sein , daraus folgt dann aber dass die Spalten von A lin unabhängig sind.... und das selbe umgekehrt? ;-)" Ja. Ich meine, Du könnstest diese Beziehung zwischen Kern und linearer Unabhängigkeit von Spalten auch ausführlicher erklären, aber wenn es für Dich offensichtlich ist, ist es auch OK. "noch eine Frage : im schritt <x,ATAx>=<Ax,Ax> was ist wenn mein Vektorraum komplex ist??? dann müsste doch irgendwo ein A⋆ rein und das würde alles zunichte machen ..." Im komplexen Fall würde statt dann stehen. Ohne Konjugation ist die Aussage im komplexen Fall einfach falsch, z.B. mit . |
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ok... Ich habe noch eine allerletzte frage ;-) die Richtung ist mir jetzt klar , aber die Rückrichtung... wie kann man aus folgern, weil theoretisch heißt ja skalarprodukt=0 nur dass die beiden Vektoren orthogonal sind... |
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Die Richung geht ganz einfach ohne Skalarprodukte, weil , wenn . |
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ok danke :-) P.S: sry für die vielen Fragen, stand nen wenig auf der Leitung ... :-D) |
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