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AWP mit Matrix in Fundamentalsystem überführen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Charakteristisches Polynom, Fundamentalsystem, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Koeffizientenvergleich

benaddict aktiv_icon

23:52 Uhr, 12.11.2017

Hi.
Es geht um die Aufgabe auf dem hochgeladenen Bild.
Ich denke dass ich bis jetzt richtig gerechnet habe und mein Ansatz ebenso richtig ist,
aber jetzt bin ich an einer Stelle hängengeblieben.
Unzwar kriege ich diesen Koeffizientenvergleich nicht hin, bzw. frage ich mich, ob ein Koeffizientenvergleich hier überhaupt durchführbar ist.

Genug der Worte, hier ist meine Rechnung: (wer meiner Rechnung vertraut, kann ja bis zum Koeffizientenvergleich runterscrollen :-) )

- EW's berechnen:

d e t (A - λ \cdot E_{3}) = 0

d e t (\begin{array}{rcl} (2 - λ) & 2 & 1 \\ 1 & (3 - λ) & 1 \\ 1 & 2 & (2 - λ) \end{array}) = λ^{3} - 7 λ^{2} + 11 λ - 5 = 0

Rate Nullstelle

λ_{1} = 1

und setze ein

\to

Ergebnis ist korrekt.

\to (λ^{3} - 7 λ^{2} + 11 λ - 5) : (λ - 1) = λ^{2} - 6 λ + 5

mit Rest = 0

\to λ^{2} - 6 λ + 5 = 0

λ_{2, 3} = 3 \pm \sqrt{9 - 5}

\to λ_{2} = 5

und

λ_{3} = 1

- Eigenvektoren berechnen:

LGS aus

(A - λ_{1, 2} \cdot E_{3}) \cdot \vec{v} = \vec{0}

liefert:

\to \vec{v_{1}} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

und

\vec{y_{1} (x)} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \cdot e^{x} \cdot c_{1}

\to \vec{v_{2}} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

und

\vec{y_{2} (x)} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \cdot e^{5 x} \cdot c_{2}

Da der dritte Eigenwert gleich dem ersten Eigenwert ist, nehme folgenden Ansatz:

\vec{y_{3} (x)} = (\begin{array}{rcl} a_{1} x + b_{1} \\ a_{2} x + b_{1} \\ a_{3} x + b_{1} \end{array}) \cdot e^{x} \cdot c_{3}

\vec{y_{3} ʹ (x)} = (\begin{array}{rcl} a_{1} - a_{1} x - b_{1} \\ a_{2} - a_{2} x - b_{2} \\ a_{3} - a_{3} x - b_{3} \end{array}) \cdot e^{x} \cdot c_{3}

in DGL einsetzen:

\vec{y_{3} ʹ (x)} = (\begin{array}{rcl} a_{1} - a_{1} x - b_{1} \\ a_{2} - a_{2} x - b_{2} \\ a_{3} - a_{3} x - b_{3} \end{array}) \cdot e^{x} \cdot c_{3} = (\begin{array}{rcl} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} a_{1} x + b_{1} \\ a_{2} x + b_{1} \\ a_{3} x + b_{1} \end{array}) \cdot e^{x} \cdot c_{3}

dies führt zu folgendem LGS und Koeffizientenvergleich:

a_{1} - a_{1} x - b_{1} = (2 a_{1} + 2 a_{2} + a_{3}) x + 2 b_{1} + 2 b_{2} + b_{3}

a_{2} - a_{2} x - b_{2} = (a_{1} + 3 a_{2} + a_{3}) x + b_{1} + 3 b_{2} + b_{3}

a_{3} - a_{3} x - b_{3} = (a_{1} + 2 a_{2} + 2 a_{3}) x + b_{1} + b_{2} + b_{3}

Keine Ahnung wie man das löst, über hilfreiche Antworten würde ich mich daher sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

pwmeyer aktiv_icon

09:16 Uhr, 13.11.2017

Hallo,

was Du aufgeschrieben hast, liefert ein lineares Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und 6 Unbekannten: Für jede Zeile machst Du einen Koeffizientenvergleich und fasst die Koeffizienten von

x

zusammen und die Koeffizienten "ohne x". Das liefert jeweils zwei Gleichungen. Insgesamt ist zu erwarten, dass die Lösung nicht eindeutig ist, weil ja durch diesen Ansatz auch die erste LÖsung miterfasst wird.

(Allerdings muss ich sagen, dass ich diesen Ansatz so nicht kenne, aber wenns klappt)

Gruß pwm

benaddict aktiv_icon

00:20 Uhr, 14.11.2017

Danke für die Hilfe, werde dass mit dem Koeffizientenvergleich dann gleich wieder versuchen.

Diese Aussage macht mich jetzt etwas stutzig:

> Das liefert jeweils zwei Gleichungen. Insgesamt ist zu erwarten, dass die Lösung nicht eindeutig ist, weil ja durch diesen Ansatz auch die erste LÖsung miterfasst wird.

Komme ich durch diese Methode also nur auf die allgemeine Lösung und nicht auf die Lösung des AWP's?

Welche Methode würdest du denn für diese Aufgabe verwenden?

pwmeyer aktiv_icon

10:58 Uhr, 14.11.2017

Hallo,

"Komme ich durch diese Methode also nur auf die allgemeine Lösung und nicht auf die Lösung des AWP's?"

Was heißt "nur". Die allgemeine Lösung besteht hier aus drei linear unabhängigen Lösungen. Das AWP wird gelöst, indem man eine geeignete Linearkombination bestimmt, die die Anfangsbedingung erfüllt.

Die mir geläufige Methode führt über die Definition der Matrix

e x p (t \cdot A),

was aber zunächst ein wenig Theorie erfordert, also nicht einfach als Alternative angegeben werden kann.

Gruß pwm

benaddict aktiv_icon

01:35 Uhr, 16.11.2017

Ok, das ist dann mein Koeffizientenvergleich, nach deinem Rezept:

I)

a_{1} - a_{1} x - b_{1} = (2 a_{1} + 2 a_{2} + a_{3}) x + 2 b_{1} + 2 b_{2} + b_{3}

II)

a_{2} - a_{2} x - b_{2} = (a_{1} + 3 a_{2} + a_{3}) x + b_{1} + 3 b_{2} + b_{3}

III)

a_{3} - a_{3} x - b_{3} = (a_{1} + 2 a_{2} + 2 a_{3}) x + b_{1} + b_{2} + b_{3}

______________________________________________

I.1)

- a_{1} = 2 a_{1} + 2 a_{2} + a_{3}

I.2)

a_{1} - b_{1} = 2 b_{1} + 2 b_{2} + b_{3}

II.1)

- a_{2} = a_{1} + 3 a_{2} + a_{3}

II.2)

a_{2} - b_{2} = b_{1} + 3 b_{2} + b_{3}

III.1)

- a_{3} = a_{1} + 2 a_{2} + 2 a_{3}

III.2)

a_{3} - b_{3} = b_{1} + b_{2} + b_{3}

______________________________________________

aus I.1)

\to a_{1} = 2 a_{2} + a_{3}

aus II.2) &

a_{1} \to a_{2} = \frac{- a_{3}}{2}

Wenn ich jetzt allerdings

a_{1}

und

a_{2}

in III.1) einsetze, erhalte ich:

- a_{3} = a_{3}

, was ja ein Widerspruch ist. Aber ich kann keinen Fehler finden.

pwmeyer aktiv_icon

10:03 Uhr, 16.11.2017

Hallo,

zu Deiner letzten Frage:

- a_{3} = a_{3}

ist kein Widerspruch, sondern bedeutet

a_{3} = 0

.

Ich hatte Dir bei meiner ersten Antwort blind vertraut. Habe jetzt mal selbst nachgerechnet und festgestellt, dass es zu

λ = 1

zwei linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Daher ist dieser Ansatz gar nicht nötig. Man erhält mit den Eigenektoren zwei Lösungen v_1*exp(x) und

v_{2}

*exp(x).

Gruß pwm

benaddict aktiv_icon

22:31 Uhr, 16.11.2017

>> "Ich hatte Dir bei meiner ersten Antwort blind vertraut."

Sorry :-)

Ok, dann auf ein Neues:

Ansatz:

y (x) = e^{λ_{i} \cdot x} \cdot y_{i}

\to y (x) = (\begin{array}{rcl} - e^{x} c_{1} \\ e^{x} c_{1} \\ - e^{x} c_{1} \end{array}) + (\begin{array}{rcl} e^{5 x} c_{2} \\ e^{5 x} c_{2} \\ e^{5 x} c_{2} \end{array})

LGS:
I)

- e^{x} c_{1} + e^{5 x} c_{2} = y_{1} (x)

II)

e^{x} c_{1} + e^{5 x} c_{2} = y_{2} (x)

III)

- e^{x} c_{1} + e^{5 x} c_{2} = y_{3} (x)

_____________________________________________
AWP einsetzen:

I)

- e^{0} c_{1} + e^{0} c_{2} = 1

II)

e^{0} c_{1} + e^{0} c_{2} = 2

III)

- e^{0} c_{1} + e^{0} c_{2} = 3

Gleichung I) und III) bilden einen Widerspruch
_____________________________________________

aus I) folgt:

c_{1} = c_{2} - 1

aus I) und II) folgt:

c_{2} = \frac{1}{2} \to c_{1} = \frac{- 1}{2}

Da stimmt doch irgendetwas nicht.

Schade, ich muss die Aufgabe morgen abgeben und komme einfach nicht drauf.

benaddict aktiv_icon

04:00 Uhr, 17.11.2017

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