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Hallo, Sei ein beliebiger Körper. In der Vorlesung haben wir definiert, dass die . ->Abb(KxK): injektiv ist, falls unendlich viele Elemente hat. Beweis: Seien zwei Polynome mit gleichem Bild. Sei ein Polynom, welches auf die Nullfunktion definiert. Somit ist das Nullpolynom, da es sonst höchstens deg(g) Nullstellen hätte. Somit gilt . Nun soll noch bewiesen werden: Ist endlich , so ist die Abbildung nicht injektiv Die Abbildung ist genau dann subjektiv, wenn endlich ist. Kann mir jemand helfen und ähnlich dem obigen Beweis zu beweisen? Vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, leider verstehe ich deine kryptischen Angaben nicht. Ist in Wirklichkeit der Polynomring in einer Unbestimmten , und besteht die Abbildung darin, dass jedem die Abbildung zugeordnet wird? Gruß ermanus |
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"p->( )" mit Pfeilen die hinten einen Strich haben. Polynomring stimmt :-) |
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Zu (a): mache dir Gedanken zu , der Anzahl der Elemente in , und , der Anzahl von Abbildungen . |
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Zu (b): für " endlich Abbildung surjektiv" kannst du mit der Existenz von Interpolationspolynomen argumentieren. |
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über denke ich noch nach. zu ich befinde mich im 1. Semester. Dort haben wir Interpolationspolynomen noch nicht behandelt. Viele Grüße :-) |
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Nun, dann kannst du dir bzgl. (b) vielleicht überlegen, dass die in Rede stehende Abbildung - ich nenne sie mal auf der Menge injektiv ist, wobei die Menge aller Polynome mit Grad und ist. Überlege auch, wieviele solche Polynome es gibt ... Nun bin ich erst am späten Nachmittag wieder online :( Gruß ermanus |
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Sei (Polynomring)-> Abbildung . Betrachte das Polynom p=Summe Polynomring mit Grad (p) Anzahl der Elemente von K. Damit gilt . Aber jedes Element in ist eine Nullstelle von . Wie könnte ich dies weiter ausformulieren? Stimmt der Ansatz? |
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Zu fällt mir leider gar nichts ein. Wie sieht die Menge der Polynom aus und wie viele sind es? |
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Zu (a): meinethalben nennen wir die Abbildung . Dein angegebenes Polynom ist so falsch, ich schätze, du meinst , oder? Für dieses Polynom gilt dann , also ist nicht injektiv. P.S.: schreibe bitte nicht immer , sondern ; denn ist der Körper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten, also der Quotienten von Polynomen. Das ist ja etwas ganz Anderes als der Polynomring. |
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Wenn du deine Beiträge auf einem Smartphone oder Tablet schreibst: es gibt dort 2 Tastaturbelegungen mit Sonderzeichen, zwischen denen du umschalten kannst. Und damit du nicht immer dieses peinliche "subjektiv" statt surjektiv schreibst, solltest du die Autokorrektur deines Systems entweder grundsätzlich ausschalten oder zumindest besser überwachen. Es sollte übrigens auch eine Selbstverständlichkeit sein, die Dinge, die man eingegeben hat, hinterher nochmal aus Lesersicht zu überprüfen und gegebenenfalls im Nachherein zu korrigieren. |
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So und nun zu . Dies ist der Vektorraum . Die Anzahl der Elemente dieser Menge anzugeben, sollte kein Problem sein ;-) |
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Ich möchte mich an dieser Stelle entschuldigen da ich mich noch nicht so gut mit der Schreibweise am PC auskenne. Des Weiteren ist mir das mit der Surjektivität entfallen und es lässt sich nicht mehr ändern. für habe ich jetzt: es lässt sich weil endlich ist eine bel. Funktion hernehmen. Ich nehme an . Daraus folgt aus K. Damit hat man eine Polynoniele Darstellung gefunden, nämlich . . die Abbildung ist surjektiv. |
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Ja, so kannst du das machen, und siehe da, du hast ja doch ein Interpolationspolynom gefunden :-) Vielleicht noch kurz zu meiner Idee ohne Interpolation. Da jeweils Werte annehmen können, enthält genau Polynome. Wenn zwei verschiedene dieser Polynome unter dieselbe Funktion lieferten, hätte ihre Differenz verschiedene Nullstellen, was aber nicht möglich ist, da der Grad des Differenzpolynoms ist. Verschiedene Elemente aus liefern unter also verschiedene Abbildungen und da es genau verschiedene Abbildungen gibt, wird jede Abbildung getroffen. Gruß ermanus |
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Danke! |