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Abbildung, Körper, injektiv, subjektiv

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Tags: Abbildung, Injektivität, Körper, Subjektivität

 
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laar-in

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15:43 Uhr, 18.03.2019

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Hallo,
Sei K ein beliebiger Körper. In der Vorlesung haben wir definiert, dass die A. K(x) ->Abb(KxK): p(/)(k(/p)(k)) injektiv ist, falls K unendlich viele Elemente hat.

Beweis: Seien f1,f2K(x) zwei Polynome mit gleichem Bild. Sei g:=f1-f2 ein Polynom, welches auf K die Nullfunktion KK definiert. Somit ist g das Nullpolynom, da es sonst höchstens deg(g) Nullstellen hätte. Somit gilt f1=f2.

Nun soll noch bewiesen werden:

(a) Ist K endlich , so ist die Abbildung nicht injektiv
(b) Die Abbildung ist genau dann subjektiv, wenn K endlich ist.

Kann mir jemand helfen (a) und (b) ähnlich dem obigen Beweis zu beweisen?
Vielen Dank!



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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ermanus

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16:05 Uhr, 18.03.2019

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Hallo,
leider verstehe ich deine kryptischen Angaben nicht.
Ist K(x) in Wirklichkeit der Polynomring K[X] in
einer Unbestimmten X,
und besteht die Abbildung darin, dass jedem pK[X]
die Abbildung KK,xp(x)
zugeordnet wird?
Gruß ermanus
laar-in

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19:58 Uhr, 18.03.2019

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"p->( kp(k) )" mit Pfeilen die hinten einen Strich haben. Polynomring stimmt :-)
Antwort
ermanus

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20:47 Uhr, 18.03.2019

Antworten
Zu (a):
mache dir Gedanken zu K[X], der Anzahl der Elemente in K[X],
und Abb(K,K), der Anzahl von Abbildungen KK.
Antwort
ermanus

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08:35 Uhr, 19.03.2019

Antworten
Zu (b):
für "K endlich Abbildung surjektiv"
kannst du mit der Existenz von Interpolationspolynomen
argumentieren.
laar-in

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08:46 Uhr, 19.03.2019

Antworten
über a) denke ich noch nach. zu b) ich befinde mich im 1. Semester. Dort haben wir Interpolationspolynomen noch nicht behandelt. Viele Grüße :-)
Antwort
ermanus

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09:59 Uhr, 19.03.2019

Antworten
Nun, dann kannst du dir bzgl. (b) vielleicht überlegen,
dass die in Rede stehende Abbildung - ich nenne sie mal φ
auf der Menge Pn-1K[X] injektiv ist,
wobei Pn-1 die Menge aller Polynome mit Grad n-1
und n=K ist.
Überlege auch, wieviele solche Polynome es gibt ...

Nun bin ich erst am späten Nachmittag wieder online :(

Gruß ermanus
laar-in

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12:04 Uhr, 19.03.2019

Antworten
a) Sei h:K(x) (Polynomring)-> Abbildung (K,K). Betrachte das Polynom p=Summe (kK)(X-k)K(x) Polynomring mit Grad (p) = Anzahl der Elemente von K. Damit gilt p0. Aber jedes Element in K ist eine Nullstelle von p. Wie könnte ich dies weiter ausformulieren? Stimmt der Ansatz?
laar-in

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12:28 Uhr, 19.03.2019

Antworten
Zu b) fällt mir leider gar nichts ein. Wie sieht die Menge der Polynom n-1 aus und wie viele sind es?
Antwort
ermanus

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16:40 Uhr, 19.03.2019

Antworten
Zu (a):
meinethalben nennen wir die Abbildung h.
Dein angegebenes Polynom ist so falsch,
ich schätze, du meinst p=kK(X-k), oder?
Für dieses Polynom p0 gilt dann h(p)=h(0),
also ist h nicht injektiv.

P.S.: schreibe bitte nicht immer K(X), sondern K[X];
denn K(X) ist der Körper der rationalen Funktionen in einer
Unbestimmten, also der Quotienten von Polynomen. Das ist ja etwas
ganz Anderes als der Polynomring.
Antwort
ermanus

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17:18 Uhr, 19.03.2019

Antworten
Wenn du deine Beiträge auf einem Smartphone oder Tablet
schreibst: es gibt dort 2 Tastaturbelegungen mit Sonderzeichen, zwischen
denen du umschalten kannst.
Und damit du nicht immer dieses peinliche "subjektiv" statt surjektiv
schreibst, solltest du die Autokorrektur deines Systems entweder
grundsätzlich ausschalten oder zumindest besser überwachen.
Es sollte übrigens auch eine Selbstverständlichkeit sein, die Dinge, die man
eingegeben hat, hinterher nochmal aus Lesersicht zu überprüfen und gegebenenfalls
im Nachherein zu korrigieren.
Antwort
ermanus

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18:10 Uhr, 19.03.2019

Antworten
So und nun zu Pn-1. Dies ist der Vektorraum
Pn-1={an-1Xn-1+an-2Xn-2++a1X+a0a0,a1,,an-1K}.
Die Anzahl der Elemente dieser Menge anzugeben, sollte kein Problem sein ;-)
Frage beantwortet
laar-in

laar-in aktiv_icon

11:26 Uhr, 20.03.2019

Antworten
Ich möchte mich an dieser Stelle entschuldigen da ich mich noch nicht so gut mit der Schreibweise am PC auskenne. Des Weiteren ist mir das mit der Surjektivität entfallen und es lässt sich nicht mehr ändern.

für b) habe ich jetzt:
es lässt sich weil K endlich ist eine bel. Funktion f:KK hernehmen. Ich nehme an p(x)=
kK(f(k)nkX-hk-h). Daraus folgt f(k)=p(k)k aus K.

Damit hat man f eine Polynoniele Darstellung gefunden, nämlich p. D.h. die Abbildung ist surjektiv.


Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:41 Uhr, 20.03.2019

Antworten
Ja, so kannst du das machen, und siehe da, du hast ja doch ein Interpolationspolynom
gefunden :-)
Vielleicht noch kurz zu meiner Idee ohne Interpolation.
Da a0,,an-1 jeweils n=K Werte annehmen können, enthält
Pn-1 genau nnn=nn Polynome.
Wenn zwei verschiedene dieser Polynome unter h dieselbe Funktion lieferten,
hätte ihre Differenz n verschiedene Nullstellen, was aber nicht möglich ist,
da der Grad des Differenzpolynoms n-1 ist.
Verschiedene Elemente aus Pn-1 liefern unter h also verschiedene
Abbildungen und da es genau nn verschiedene Abbildungen KK gibt,
wird jede Abbildung getroffen.
Gruß ermanus
Frage beantwortet
laar-in

laar-in aktiv_icon

13:09 Uhr, 20.03.2019

Antworten
Danke!