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Abbildung, Kurve, Graph

Universität / Fachhochschule

Tags: Abbildung, Funktion, Graph, kurven, Raumkurven

The3hadow

19:17 Uhr, 16.12.2011

Hi!

Lasst euch nicht einschüchtern durch die Menge des Textes, ist eigentlich eine ganz simple Frage, möchte diese euch aber so gut, wie es nur geht präsentieren. :-)

Also Folgendes:

Der Graph der Abbildung

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto f (x) = y

ist eine Kurve in der xy-Ebene (jedem Argument wird ein Funktionswert zugeordnet).
Der Graph der Abbildung

g : ℝ^{2} \to ℝ, \vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \mapsto g (\vec{x}) = z

ist eine Fläche im Raum (jedem Punkt

\vec{x}

wird ein skalarer Wert

z

zugeordnet).

Ich hoffe, dass ich das alles richtig aufgefasst habe, denn jetzt kommt das, womit ich Probleme habe:

Kurven:
Die Abbildungsvorschrift einer Kurve sieht so aus:

\vec{x} = [a, b] \to ℝ^{n}, t \mapsto \vec{x} (t) = (\begin{matrix} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \\ . \\ . \\ . \\ x_{n} (t) \end{matrix})

Dabei ist

\vec{x} (a)

Anfangs- und

\vec{x} (b)

Endpunkt.
Für

n = 2

soll der Graph der Abbildung eine Kurve in der Ebene und für

n = 3

eine Kurve im Raum sein.

Das verstehe ich aber nicht, denn nehmen wir uns

z . B

. den Fall

n = 2

vor:
Die Abbildung bildet von

ℝ

(Intervall) nach

ℝ^{2}

ab,

d . h

. (wenn wir die drei Achsen

t, x_{1} (t), x_{2} (t) -

im Allgemeinen auch

x

,y,z-Achsen) jeder Stelle

t \in

Intervall

\in ℝ

wird ein Vektor

\vec{x} (t)

zugeordnet, also ein Punkt

(x_{1} (t), x_{2} (t))

. Das würde ja bedeuten, dass man sich auf der t-Achse (bzw. x-Achse) bewegen würde und und an jeder Stelle

t

geht man dann

x_{1} (t)

Schritte in Richtung

x_{1} (t)

-Achse (bzw. y-Achse) und

x_{2} (t)

Schritte in Richtung

x_{2} (t)

-Achse (bzw. z-Achse).
Also würden wir doch für

n = 2

eine Kurve im Raum bekommen!?

Einfaches Bsp.:
Koordinatensystem: kartesisches Koordinatensystem, 3 Achsen, t-Achse steht senkrecht auf den beiden anderen und "zeigt raus aus dem Papier"

\vec{x} : [0,1] \to ℝ^{2}, t \mapsto \vec{x} (t) = (\begin{matrix} t \\ t \end{matrix})

Und als Graph soll die Winkelhalbierende einer Ebene rauskommen. Also gut mit der Winkelhalbierenden bin ich einverstanden, aber Letzteres...?
Ich gehe mit meinem Argument

t

auf der t-Achse entlang. Ich halte jetzt

z . B

. mal bei

t = 1

an. An dieser Stelle wird mir laut Abbildungsvorschrift der Vektor

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

zugewiesen, also gehe ich einen Schritt nach rechts und einen nach oben und da zeichne ich einen Punkt hin, der ein Teil von der gesamten Kurve ist. Dieser Punkt liegt aber im Raum und nicht auf einer Ebene.
Anscheinend wird das Argument

t

beim Graphen nicht berücksichtigt

(d . h

. es gibt keine t-Achse und somit nur 2 Achsen und die Kurve befindet sich damit in einer Ebene), anders kann ich mir das nicht erklären, warum der Graph sich doch nicht im Raum befindet.
Aber sollte die Abbildungsvorschrift nicht eindeutig sein? Also dass man nicht einfach sagen kann: "Hey, na dann lassen wir das Argument beim Graphen einfach weg und haben nur noch eine Ebene!" ...das kann es doch nicht sein, wenn man das auch bei der ersten Abbildung

(s . ⊙)

machen würde, hätten wir gar keinen Graphen mehr.

Ich hoffe, dass sich jemand die Zeit nimmt und das hier durchliest. xD
Vielen Dank für etwaige

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