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Abbildung R-linear?
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 17:12 Uhr, 18.12.2005  |
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Hi, ich weiß einfach nicht wie ich anfangen soll. Bitte dringend um Hilfe. Herzlichen Dank schonmal...(was heißt übrigens genau R-linear?) Aufgabe: Welche der folgenden Abbildungen des R^2 in sich sind R-linear? a) Spiegelung an der x- Achse b) Verschiebung um den Vektor (1,1) c) Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt d) Streckung des Vektors um den Faktor 2 e) Scherung entlang der x- Achse, gegeben durch (v,w)->(v+w,v) f) Spiegelung an der Achse y=1 g) Drehung um 180 Grad um den Punkt (1,0) |
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Hallo, seien V, W Vektorraeume mit demselben Skalarkoerper K. Eine Funktion f: V -> W heisst K-linear, wenn gilt a*f(x) = f(ax) fuer alle x in V und a in K f(x+y) = f(x)+f(y) fuer alle x, y in V R-linear bedeutet also einfach nur, dass deine Skalare reell sind. Du koenntest ja auch z.B. komplexe Skalare haben. Zu den Aufgaben. Du musst dir einfach ueberlegen, wie die Abbildung eines beliebigen Vektors ausschaut und dann die beiden Bedingungen pruefen. Fuer die ersten beiden (einmal linear und einmal nicht linear) mache ich es vor. Den Rest machst du dann selbst :). a) Sei (x1, x2) in R^2. Spiegelung an der x-Achse bedeutet, dass (x1, x2) -> (x1,-x2) abgebildet wird. Aber a(x1, -x2)=(ax1, -ax2) und (x1, -x2)+(y1, -y2)=(x1+y1, -(x2+y2)). Daher ist die Abbildung linear. b) (x1, x2) -> (x1+1, x2+1). Multiplikation mit Skalar 0: 0*(x1+1, x2+1) = (0, 0), aber f(0x)=(0+1, 0+1)=(1, 1)=(1,1). Daher ist die erste Bedingung verletzt und die Abbildung nicht linear. Generell muss einen lineare Abbildung immer durch den Nullpunkt gehen, denn f(0)=f(0x)=0f(x)=0 fuer beliebiges x. Uebrigens sind lineare Abbildungen genau die, die sich als Ax darstellen lassen, wobei A eine Matrix ist. Cheers, Alex |
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anonymous 15:21 Uhr, 19.12.2005 |
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Ok, vielen Dank |
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