Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Abbildung der Polynome, Basis Bild und Dimensionen

Abbildung der Polynome, Basis Bild und Dimensionen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung Polynome Basis Dimension Bild

KeinenPlan1 aktiv_icon

20:57 Uhr, 14.05.2018

Hallo zusammen,

die Aufgabe ist im Bild zu sehen. Es geht darum die Basis, das Bild und die Dimension von Bild und Basis zu bestimmen. Bisher habe ich es nur fertig gebracht die Abbildung auf:

p \to (\frac{2}{3}) \cdot b + d

zu reduzieren wobei,

b

und

d

die Koeffizienten der Polynome sind, also

a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

. Ich müsste jetzt ja eigentlich die Abbildungsmatrix aufstellen, diese mit

(\frac{2}{3}) \cdot b + d

multiplizieren und gleich 0 setzen um den Kern zu bestimmen, oder? Wenn dem so ist und ich es nicht falsch verstanden habe, wie stelle ich diese Matrix auf?

Grüße,

kp1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

KeinenPlan1 aktiv_icon

22:51 Uhr, 14.05.2018

Oh, ich kann es ja einfach auch so nach 0 auflösen und bekomme dann heraus, dass alle

L (a \cdot x_{3}

−

3 \cdot d \cdot x_{2} + c \cdot x + d)

im Kern liegen, oder?

Edit: oops habe fälschlicherweise

\frac{2}{3}

⋅

b + d

geschrieben. Es sollte

\frac{2}{3}

⋅

b + 2 \cdot d

sein.

DrBoogie aktiv_icon

06:19 Uhr, 16.05.2018

Kern und Bild kannst Du auch ohne Matrix berechnen (und das ist einfacher so).
Bild ist einfach

ℝ

, denn klar, dass Integrale einfach Zahlen sind, und dass es alle Zahlen sind, folgt einfach aus der Linearität der Abbildung.
Für Kern kannst Du direkt schreiben

2 b / 3 + d = 0

, woraus folgt

d = - 2 b / 3

und da dies die einzige Bedingung ist, besteht der Kern aus allen Polynomen

a x^{3} + b x^{2} + c x - 2 b / 3

, mit beliebigen

a, b, c

. Daher ist der Kern dreidimensional. Als Basis kann man z.B.

{x^{3}, x^{2} - 2 / 3, x}

nehmen.

Matrix stellt man so auf: man nimmt eine Basis des Gesamtraumes (z.B.

{1, x, x^{2}, x^{3}}

) und schreibt die Koeffizienten der Bilder der Basiselemente als Spalten. Wegen

1 \to \int_{- 1}^{1} 1 d x = 2

ist die erste Spalte einfach

2

. Wegen

x \to \int_{- 1}^{1} x d x = 0

ist die 2. Spalte

0

. Usw.
Matrix ist immer basisbezogen, daher würde in einer anderen Basis anders aussehen.

UPDATE. Korrigiert, Matrix ist in diesem Fall nur eine Zeile.

KeinenPlan1 aktiv_icon

06:30 Uhr, 16.05.2018

Vielen Dank für deine Antwort! Alles was du schreibst scheint Sinn zu ergeben. Ich muss es mir natürlich noch etwas durch den Kopf gehen lassen bevor ich es komplett verstehe. Eine Frage hätte ich jedoch noch:

"Bild ist einfach ℝ, denn klar, dass Integrale einfach Zahlen sind, und dass es alle Zahlen sind, folgt einfach aus der Linearität der Abbildung."

Den ersten Part verstehe ich, wieso folgt jedoch aus der Linearität der Abbildung, dass es alle sind?

Grüße,

Kp1

DrBoogie aktiv_icon

06:36 Uhr, 16.05.2018

Wenn

L

lineare Abbildung ist und sagen wir mal ein

x

existiert, dass

L (x) = 1

, dann

L (a x) = a

für jedes

a

, also ist jedes

a

im Bild.
Hier ist es auch direkt einfach zu sehen, denn

\int_{- 1}^{1} a d x = 2 a

, was alle Zahlen durchläuft.

KeinenPlan1 aktiv_icon

01:32 Uhr, 17.05.2018

Okay, jetzt ist nun wirklich alles verständlich. Vielen Dank für deine Hilfe! :-)

1426915

1426551

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?