Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Abbildung, die Matrix in Polynom einsetzt

Abbildung, die Matrix in Polynom einsetzt

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung, polynom

Ninad aktiv_icon

16:31 Uhr, 21.04.2015

Hallo zusammen :-)

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei $K$ ein Körper, $A \in K^{n, n}, n \geq 2$ .
Sei $f : K_{\leq n} [t] \to K^{n, n}$ eine Abbildung, wobei $p \mapsto f (p) := p (A)$ .

Es gilt allgemein $p = \sum_{k = 0}^{n} α_{k} t^{k}$ und $p (A) := \sum_{k = 0}^{n} α_{k} A^{k}$ .

Zu zeigen:
$a) f$ ist linear
$b)$ ist $f$ injektiv?
$c)$ ist $f$ surjektiv?

Also die Linearität hab ich glaube ich richtig gezeigt.
Bei der Injektivität habe ich folgendes Gegenbeispiel:

Sei $A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}),$ seien $p = 5 t^{2} + 4 t^{3}$ und $q = 2 t^{2} + 4 t$
Dann ist $f (p) = p (A) = 0$ und $f (q) = q (A) = 0$ . Somit gibt es unterschiedliche Polynome $p, q \in K_{\leq n} [t],$ die beide auf das gleiche Element abbilden, also nicht injektiv.
Stimmt das Gegenbeispiel, also kann ich mir so ein A vorgeben, oder muss es für alle A gelten?

Bei der Surjektivität bin ich überfragt... würde mich über Hilfe freuen!

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

16:49 Uhr, 21.04.2015

"Stimmt das Gegenbeispiel, also kann ich mir so ein A vorgeben, oder muss es für alle A gelten?"

Du hast nur ein einziges fixes $A$ , also geht es schon grundsätzlich nicht, "für alle A $.$
Das Gegenbeispiel stimmt nicht, $q (A) \neq 0$ , aber es geht ähnlich, sogar einfacher, z.B. $p = t^{3}$ und $q = t^{2}$ .
Die Abbildung ist nicht surjektiv für $n > 1$ , denn $p (A)$ hat dieselbe Eigenvektoren wie $A$ , daher kann $p (A) = B$ nur sein, wenn auch $B$ dieselben Eigenvektoren hat wie $A$ . Es ist aber möglich (zumindest über den meisten Körpern) eine Matrix $B$ zu finden, die andere Eigenvektoren hat.

Ninad aktiv_icon

17:23 Uhr, 21.04.2015

Ich habe $q$ aus Versehen falsch aufgeschrieben, es soll heißen $q = 2 t^{2} + t^{4}$ . Dann gilt auch $q (A) = 0$ :-)

Bin nicht ganz sicher, ob ich die Surjektivität überhaupt richtig verstehe bei dieser Abbildung. Wähle ich nicht $p$ beliebig, aber fest, und dann kann ich A variieren und einsetzen, sodass doch am Ende der ganze Raum $K^{n, n}$ dabei raus kommen kann? Verstehe das nicht so ganz.

DrBoogie aktiv_icon

17:28 Uhr, 21.04.2015

Bei Dir ist $A$ fest und $p$ beliebig.
Um es zu verdeutlichen, für eine feste Matrix $A$ hast Du die Abbildung:
$φ_{A} : p \to p (A)$ . Surjektiv wäre sie, wenn sich jede Matrix $B$ als $p (A)$ mit einem passenden $p$ darstellen ließe. $A$ bleibt aber ganze Zeit fix.

Ninad aktiv_icon

17:41 Uhr, 21.04.2015

Okay alles klar, danke für die schnelle Antwort :-)

1229433

1229415

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?