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Abbildung, die Matrix in Polynom einsetzt

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung, polynom

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16:31 Uhr, 21.04.2015

Hallo zusammen :-)

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei

K

ein Körper,

A \in K^{n, n}, n \geq 2

.
Sei

f : K_{\leq n} [t] \to K^{n, n}

eine Abbildung, wobei

p \mapsto f (p) := p (A)

.

Es gilt allgemein

p = \sum_{k = 0}^{n} α_{k} t^{k}

und

p (A) := \sum_{k = 0}^{n} α_{k} A^{k}

.

Zu zeigen:

a) f

ist linear

b)

ist

f

injektiv?

c)

ist

f

surjektiv?

Also die Linearität hab ich glaube ich richtig gezeigt.
Bei der Injektivität habe ich folgendes Gegenbeispiel:

Sei

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

seien

p = 5 t^{2} + 4 t^{3}

und

q = 2 t^{2} + 4 t

Dann ist

f (p) = p (A) = 0

und

f (q) = q (A) = 0

. Somit gibt es unterschiedliche Polynome

p, q \in K_{\leq n} [t],

die beide auf das gleiche Element abbilden, also nicht injektiv.
Stimmt das Gegenbeispiel, also kann ich mir so ein A vorgeben, oder muss es für alle A gelten?

Bei der Surjektivität bin ich überfragt... würde mich über Hilfe freuen!

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

16:49 Uhr, 21.04.2015

"Stimmt das Gegenbeispiel, also kann ich mir so ein A vorgeben, oder muss es für alle A gelten?"

Du hast nur ein einziges fixes

A

, also geht es schon grundsätzlich nicht, "für alle A

.

Das Gegenbeispiel stimmt nicht,

q (A) \neq 0

, aber es geht ähnlich, sogar einfacher, z.B.

p = t^{3}

und

q = t^{2}

.
Die Abbildung ist nicht surjektiv für

n > 1

, denn

p (A)

hat dieselbe Eigenvektoren wie

A

, daher kann

p (A) = B

nur sein, wenn auch

B

dieselben Eigenvektoren hat wie

A

. Es ist aber möglich (zumindest über den meisten Körpern) eine Matrix

B

zu finden, die andere Eigenvektoren hat.

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17:23 Uhr, 21.04.2015

Ich habe

q

aus Versehen falsch aufgeschrieben, es soll heißen

q = 2 t^{2} + t^{4}

. Dann gilt auch

q (A) = 0

:-)

Bin nicht ganz sicher, ob ich die Surjektivität überhaupt richtig verstehe bei dieser Abbildung. Wähle ich nicht

p

beliebig, aber fest, und dann kann ich A variieren und einsetzen, sodass doch am Ende der ganze Raum

K^{n, n}

dabei raus kommen kann? Verstehe das nicht so ganz.

DrBoogie aktiv_icon

17:28 Uhr, 21.04.2015

Bei Dir ist

A

fest und

p

beliebig.
Um es zu verdeutlichen, für eine feste Matrix

A

hast Du die Abbildung:

φ_{A} : p \to p (A)

. Surjektiv wäre sie, wenn sich jede Matrix

B

als

p (A)

mit einem passenden

p

darstellen ließe.

A

bleibt aber ganze Zeit fix.

Ninad aktiv_icon

17:41 Uhr, 21.04.2015

Okay alles klar, danke für die schnelle Antwort :-)

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