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Abbildung einer Matrix, Kern und Bild bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Bild, Kern, Lineare Abbildungen, Matrix, matriz, Rang

 
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annake

annake aktiv_icon

10:08 Uhr, 17.05.2012

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hallo :-)
neu hier und gleich die zweite frage! wie bei meiner ersten frage schon erwähnt, ich hab am dienstag eine prüfung und   steck bei ein paar bsp., bin leider echt kein mathegenie aber ich tu mein bestes :-D) also:

Finden sie n und m, sodaß f(x)= Bx mit B=

1 -2 0 1 
2 0 1 0
0 -3 -4/3 2

eine Abbildung f: R^n -> R^m ist und berechnen Sie den Kern(f) und Bild(f).

soo da B ja eine (3x4) matrix ist, ist m=3 und n= 4.

das heisst Bx ist eine abbildung f:R^4-> R^3

was ich weiss ist der kern einer abb. einfach die lösungsmenge und das bild die spalten die linear unabhängig sind?

und rang vom kern ist 1 wenn die lösungsmenge nicht 0 ist
und rang vom bild ist die anzahl der spalten
rg(kern)+rg(bild) muss rg (V) sein
stimmt das? 

mein erster lösungsweg war das ich einfach gauss angewendet hab aber dann ist mir ja eingefallen das da ein x steht

also B*x = B * (x1, x2, x3, x4)
da kommt dann raus
-3x1 + 6x2 + 3x4
-6x1 - 3x3
9x2 + 4x3 - 6x4

und jetzt weiss ich nicht weiter! waren beide meine ideen falsch ?
vielen vielen dank im
voraus für eure hilfe :-)
lg anna


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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prodomo

prodomo aktiv_icon

10:24 Uhr, 17.05.2012

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Warum hast du nicht einfach den Kern als L des homogenen Gleichungssystems bestimmt. Zum Vergleich: Kern (φ)={r(3-2-6-7)}r,r. Damit ist dim Kern =1.
annake

annake aktiv_icon

11:08 Uhr, 17.05.2012

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tut mir leid ich verstehs nicht genau! du meinst bei B ganz normal gauss anwenden und die lösungsmenge bestimmen? und das ist dann
mein kern? und x von Bx kann ich ignorieren?
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oculus

oculus aktiv_icon

12:38 Uhr, 17.05.2012

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Hallo,

gemeint ist doch wohl als Gleichung für den Kern

Bx=(1-20120100-3-432)(x1x2x3x4)=(000).

oculus


annake

annake aktiv_icon

12:58 Uhr, 17.05.2012

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dankefür die antwort, aber wieso sollte ein nullvektor herauskommen wenn ich B und x multipliziere? keiner da der mir eine ungefähre anleitung für die ganze rechnung geben kann oder mir einfach ein wenig auf die sprünge hilft bei meinen fragen? bitte :-)
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oculus

oculus aktiv_icon

19:20 Uhr, 18.05.2012

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Hallo,

und entschuldige,Annake, wenn ich auf deine Überlegungen wegen meiner knappen Zeit nicht genauer eingehe. Ich zeige dir, wie ich einen Teil deiner Aufgabe lösen würde:

Den Kern einer linearen Abbildung F:R4R3 mit der Abbildungsmatrix

B=(1-20120100-3-432)

ist die Menge aller Vektoren x=(x1x2x3x4)R4, für die die Gleichung

Bx=(1-20120100-3-432)(x1x2x3x4)=(000) gilt. Diese Gleichung ist äquivalent mit dem Gleichungssystem
x12x2+0x3+x4=0
2x1+0x2+x3+0x4=0
0x1v+3x243x3+2x4=0.
Das sind drei Gleichungen mit 4 Unbekannten.

Wenn du nun nach Gauss das Gleichungssystem äquivalent veränderst, erhältst du
X1+37x4=0
X2-27x4=0
X3-67x4=0.

Da eine Variable frei gewählt werden kann, setze ich x4=7 und erhalte x':=(x1x2x3x4)=(-3267) als eine Lösung. Jede weitere Lösung ist ein Vielfaches von x', das heißt aber: der Vektor x' ist Basis des Kerns der Abbildung, also dim Kern =1.



Herzliche Grüße






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