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Abbildung f(x, y) ≡ x − y Gruppenhomomorphismus

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Abbildung, Bild, Gruppen, Gruppenhomomorphismus, Kern

jni97 aktiv_icon

17:50 Uhr, 13.11.2017

Hallo,
ich habe Probleme mit einer Aufgabe über Gruppenhomomorphismus.
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Aufgabe 1 (Kern und Bild)

(4

Punkte)
Zeigen Sie, dass die durch

f (x, y)

≡

x

−

y

gegebene Abbildung

f : Z

Z \to Z

ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppenstruktur ist. Bestimmen Sie ker(f) und Bild(f).

Soweit ich verstanden habe muss ich folgende Axiome zeigen:

1) f (x \circ y) = f (x) \circ f (y)

2)

f(nG) = nH

3) f (g^{- 1}) = {[f (g)]}^{- 1}

Jetzt den Problemen:
Ich habe eine Funktion

f (x, y) . .

. Wie zeige ich das erste Axiome?
Setze ich einfach folgendes ein:

f (x \circ y, y \circ x) = f (x) \circ f (y)

?
Woher soll ich die Nullelement von

G

und

H

nehmen? Es sind ja keinerlei Informationen über

G

und

H

gegeben...

Ich sitze jetzt schon den ganzen Nachmittag an der Aufgabe, aber komme inefach nicht dahinter...
Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz zeigen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:22 Uhr, 13.11.2017

Hallo,

(Z, +)

sei die additive Gruppe der ganzen Zahlen.

Z \times Z

ist dann die additive Gruppe

{(a, b) ∣ a, b \in Z}

mit
der Verknüpfung

(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

. Das

f (x, y)

ist etwas ungenau
geschrieben, exakt müsste es

f ((x, y)) = x - y

heißen.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

14:18 Uhr, 15.11.2017

Hallo,
von den drei Bedingungen, die du angibst, musst du gemäß
Definition eines Homomorphismus nur 1) zeigen (, da die anderen sich
daraus automatisch ergeben).

Du musst also zeigen:

f ((x, y) + (u, v)) = f ((x, y)) + f ((u, v))

für alle

x, y, u, v \in Z

.

Über Kern und Bild reden wir später ;-)

Gruß ermanus

jni97 aktiv_icon

15:26 Uhr, 15.11.2017

Hallo,
danke erstmal für die Antworten!
Also ich habe jetzt für den Beweis folgende Schritte überlegt:

Zu zeigen:

f ((x, y) + (u, v)) = f ((x, y)) + f ((u, v))

für alle

x

,y,u,v∈Z.

Beweis:

1) f ((x, y) + (u, v)) = f ((x, y)) + f ((u, v))

2) f ((x, y) + (u, v)) = (x - y) + (u - v)

Muss ich hier zwischen noch besser begründen(mehr Zwischenschritte aufschreiben) wie man von Schritt 2 auf 3 kommt oder ist das klar?

3) f ((x, y) + (u, v)) = (x + u) - (y + v)

q . e . d

Das dürfte doch als Beweis ausreichen oder sehe ich das falsch?

ermanus aktiv_icon

15:44 Uhr, 15.11.2017

Ah, super! Ich denke, du hast es verstanden. Es ist nur noch ein bisschen
"ungeschickt" aufgeschrieben. Vielleicht eher so:

f ((x, y) + (u, v)) = f ((x + u, y + v)) = (x + u) - (y + v) = (x - y) + (u - v) = f ((x, y)) + f ((u, v))

.

Ich meine , so ist dein Gedanke durchsichtiger :-)

jni97 aktiv_icon

16:16 Uhr, 15.11.2017

Sehr gut, danke dir. Und wie mache ich das jetzt mit dem Kern und dem Bild?
Im Script steht, dass ich den Kern und das Bild wie folgt bestimme:
Für jeden Gruppenhomomorphismus

f : G \to U

gilt:
ker(f)

= {g \in G |

f(a)=eU

}

\subset G

im(f)

= {f (a) | a \in G} \subset U

Der Gruppenhomomorphismus ist ja jetzt bewiesen, daher sollten die Aussagen aus dem Script ja gelten.

Meine Ideen dazu:
Ich würde jetzt

f (a)

durch

f ((x, y))

tauschen, da die Definitionsmenge ja aus

ℤ x ℤ

besteht.

G

ist die Definitionsmenge und besteht aus

ℤ x ℤ

U

ist die Zielmenge aus

ℤ

.

Der Kern besteht aus allen Elementen aus

G,

die auf das Neutralelement von

U

abbilden.
Das Bild Besteht aus allen Elementen der Funktionswerten aus

G,

die auch in

U

liegen.

Ich verstehe allerdings nicht, was allgemein zu zeigen ist.

ermanus aktiv_icon

16:52 Uhr, 15.11.2017

Ja, das siehst du alles richtig.
Das neutrale Element von

U = Z

ist

0

, d.h. Kern(

f

) ist die Menge
aller

(x, y)

, für die

f ((x, y)) = 0

gilt. Bei Bild(

f

) fragst du danach,
welche

z \in Z

in der Form

f ((x, y)) = x - y

geschrieben werden können ...

jni97 aktiv_icon

17:29 Uhr, 15.11.2017

Alles klar! Danke für deine Hilfe, die hat mir sehr geholfen :-)

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