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Abbildung interpretieren und anwenden

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Tags: Abbildungen (Funktionen), Funktionsverknüfung, Funktionsvorschrift

 
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anonymous

anonymous

15:33 Uhr, 19.11.2017

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Guten Tag, Leute. Ich bin Informatikstudent und verweifle gerade an einem Matheübungsblatt.
Dort behandeln wir gerade das Thema "Funktionsverknüpfungen" und ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, weil ich eine Abbildung nicht verstehe...

Ich habe zu dieser Aufgabe ein Bild hochgeladen, da ich mit "Formelnschreiben" in diesem Forum als Neuling noch nicht richtig viel Ahnung habe.

Es geht um die Aufgabe 3. Wir haben 3 Abbildungen und sollen die miteinander verknüpfen und die entsprechendn Aufgaben lösen. Die Nr. 3a)-c) ist kein Problem für mich, da ich schon weiß, wie man Funktionen verknüpft und diese ausrechnet. Ab der Nr. 3d) habe ich schon Schwierigkeiten, da ich die dritte Abbildung dafür brauche. Also A:RRxR→R,A((h,x))=h(x)..

Ich verstehe diese Abbildung einfach nicht, zu mal ich bei der Funktionsvorschrift echt verwirrt bin. Was heißt denn A((h,x))=h(x)? Warum wird h durch ein Komma mit x getrennt? Die Aufgabe ist bestimmt nicht schwer, aber die Schreibweise verstehe ich nicht. Im Internet habe ich leider auch nichts über die Abbildung gefunden?

Könntet ihr mir dann eventuell bei der nr. 3d) helfen und vllt ein Lösungsvorschlag angeben? Damit ich weiß, wie ich an diesem Typ von Aufgaben rangehen kann.

Ich bedanke mich schon mal im Voraus,

Pier Schondrin

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Roman-22

Roman-22

16:01 Uhr, 19.11.2017

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> Was heißt denn A((h,x))=h(x)? Warum wird h durch ein Komma mit x getrennt?

Weil es hier um ein Paar (ein 2-tupel) geht.

M×N bedeuetet ja Produktmenge und die besteht aus allen Paaren (m;n) mit m∈M und n∈N.

Wenn ℝℝ nun die Menge aller Abbildungen (ℝ→ℝ) ist, dann besteht ℝℝ×ℝ aus allen Paaren, deren erste Komponente eben eine solche Abbildung ist und die zweite Komponente ist eine reelle Zahl.
Die gegebene Abbildung A ordnet nun so einem Paar den Wert der Abbildung (erste Komponente) an der Stelle der zweiten Komponente zu.
Beispiel: Seien a(x):=2x3 und b(x):=x2 zwei Abbildung ℝ→ℝ
Dann ist A((a,4))=a(4)=2⋅43=128 und A((b,4))=b(4)=42=2
Und A((a,b(4)))=A((a,2))=16 und A((b,a(4)))=A((b,128))=64

Anders ausgedrückt steht A((a,x))nur für a(x) und demnach A((a,b(x))) für a(b(x)) und das könnte man ja auch als Verkettung schreiben!


> Die Aufgabe ist bestimmt nicht schwer,
Richtig erkannt :-)
Mit g(3)=2⋅3+5=11
A((f;g(3)))=A((f;11))=f(11)=...


> Im Internet habe ich leider auch nichts über die Abbildung gefunden?
Die hat sich ja euer Dozent/Prof einfach so ausgedacht ;-)
anonymous

anonymous

17:23 Uhr, 19.11.2017

Antworten
Erst mal danke für die super schnelle Antwort! p∪h, da bin ich jetzt erleichtert, dass ich das einigermaßen nachvollziehen konnte!
Dann müsste das Ergebnis bei der Aufgabe 3d), wenn ich das richtig verstanden habe, 1330 lauten, oder?

Ich habe da aber noch eine Frage: Die Abbildung A((h,x))=h(x) sagt ja, da "h" dann eine Abbildung ist. Um diese Abbildung aber verwenden zu können, muss man diese durch schon gegebenen Abbildungen und reellen Zahlen definieren, wie z.B. bei der Aufgabe 3d).

Wenn ich mir die Aufgabe 3e) anschaue, habe ich in der Verknüpfung die Abbildung A selbst. Ich weiß nicht so recht, wie ich da vorgehen sollte, da A für mich nicht definiert ist. Also, in dem Sinne, dass ich nicht weiß welche Funktion "h" sein soll. Das "x" ist ja klar definiert durch (g,-1).

Können Sie mir da vllt auch ein paar Tipps geben? :
Antwort
Roman-22

Roman-22

01:52 Uhr, 20.11.2017

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> Ich habe da aber noch eine Frage: Die Abbildung A((h,x))=h(x) sagt ja, da "h" dann eine Abbildung ist.
Ja, h muss da eine Abbildung ℝ→ℝ sein.

> Um diese Abbildung aber verwenden zu können, muss man diese durch schon gegebenen Abbildungen und reellen Zahlen definieren, wie z.B. bei der Aufgabe 3d).

Wenn du was konkret ausrechnen sollst, muss h gegeben sein.


> weiß nicht so recht, wie ich da vorgehen sollte, da A für mich nicht definiert ist. Also, in dem Sinne, dass ich nicht weiß welche Funktion "h" sein soll.

h ist doch nur ein Abbildungsargument, ein formaler Parameter, würde man wohl beim Programmieren sagen.

So wie das y bei a(y):=3⋅y2

Wenn du eine 4 rein wirfst, dann ist y eben 4→a(4)=3⋅42=48 und wenn du x reinwirfst, dann ist eben der aktuelle Parameter das x→a(x)=3x2.
Bei deiner Aufgabe ist bei der Definition der Abbildung A eben das h als formales Argument verwendet worden, aber wesentlich ist doch, was das aktuelle Argument ist, also welche konkrete Funktion in dem Argument-Paar da an erster Stelle steht.

Beachte bei Verkettungen, dass (a∘b∘c)(x)=a(b(c(x))). Also erst wird das Argument (x) in die letzte Abbildung c reingeschmissen, das was rauskommt (c(x)) wird als Argument für die vorletzte Funktion genommen, usw.

Bei Aufgabe e)→(f∘g∘A)(g,-1)
wird also im ersten Schritt das Argument, das Paar (g,-1), in die Abbildung A geworfen. g ist ja wohldefiniert und das Ergebnis ist laut Definition g(-1) und das kannst du sicher ausrechnen. Das ist nun ein simpler Wert aus ℝ und damit ein gültiges Argument für die Funktion, die in der Verkettung an vorletzter Stelle steht, also für g. Rein damit, ausrechnen und dieses Ergebnis kommt nun in die erste Funktion f rein und fertig.

e) ist übrigens gleichbedeutend mit (f∘g∘g)(-1)


Und ja, bei d) ist das Ergebnis 1330 (und bei e) übrigens auch :-)
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