Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Abbildung ist bijektiv innherhalb v. Einheitskreis

Abbildung ist bijektiv innherhalb v. Einheitskreis

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

Sace91 aktiv_icon

18:38 Uhr, 16.01.2021

Leider überfordert mich diese Aufgabe komplett, weshalb ich wieder auf ihre Hilfe angewiesen bin. Ich hab in der Vorlesung an sich das meiste verstanden aber die Aufgabe erscheint mir dennoch viel zu schwer für meinen jetzigen Wissensstand oder ich blicke die Aufgabe nicht ganz durch.
Ich bedanke mich im Voraus für ihre Hilfe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

18:44 Uhr, 16.01.2021

Hallo,

"Leider überfordert mich diese Aufgabe komplett,"

Nicht so pessimistisch. Erledige doch erstmal die Rechenarbeit. Du musst ja ohnehin die Umkehrfunktion zu

f

auf der angegebenen Menge bestimmen. Also löse doch einfach mal

f (z) = w

nach

z

auf. Und dann schau mal, ob das geht, ob das eindeutig geht

. .

.

Grß pwm

Sace91 aktiv_icon

17:35 Uhr, 17.01.2021

Ich hab für die Umkehrfunktion folgendes raus:

z = \frac{i \cdot y + i}{- y + 1}

Grafisch sieht die Funktion eindeutig aus aber ich weiß nicht genau wie ich das mathematisch beweisen kann.(vorallem bezogen auf das Innere des Einheitskreises)

pwmeyer aktiv_icon

19:05 Uhr, 17.01.2021

Hallo,

jetzt wissen wir also, dass

f

injektiv ist und die Umkehrfunktion auf ganz

ℂ

definiert ist, mit Ausnahme von

w = 1

.

Jetzt wollen wir noch wissen, dass für

z

mi Im(z)>0 gilt

| f (z) | < 1 -

und umgekehrt. Das ist äquivalent zu

{| f (z) |}^{2} < 1,

was uns das Anschreiben von Wurzeln erspart. Sei also

z = x + y \cdot i

mit

y > 0

. Dann gilt:

{| f (z) |}^{2} = \frac{{| z - i |}^{2}}{{| z + i |}^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} - 2 \cdot y + 1}{x^{2} + y^{2} + 2 \cdot y + 1}

Man sieht: Der Zähler ist kleiner als der Nenner, der Bruch also kleiner als 1. Auch umgekehrt: Wenn der Bruch kleiner als 1 ist dann muss

y > 0

sein.

Gruß pwm

Sace91 aktiv_icon

19:39 Uhr, 17.01.2021

Was ist mit "|f(z)|<1− und umgekehrt" genau gemeint? Also dieses Minus oder Bindestrich mit dem und umgekehrt verwirrt mich etwas aber der Rest war sehr verständlich.

pwmeyer aktiv_icon

12:52 Uhr, 18.01.2021

Hallo,

das heißt, wie in der Aufgabe verlangt:

Im(z)>0

\Rightarrow | f (z) | < 1

und

| f (z) | < 1 \Rightarrow

Im(z)>0

Gruß pwm

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1527162

1526997

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?