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Abbildung vom R^3 zum R^2 injektiv, nachweis?

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Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: injektiv, Linear Abbildung, Vektorraum

TidoW aktiv_icon

15:18 Uhr, 16.09.2016

Hallo, ich steh meistens immer auf Kriegsfuß, mit Aufgaben, in denen es um Beweise geht.
Der folgene Lautet: "Beweisen oder widerlegen Sie: Es sei

F : R^{3}

nach

R^{2}

linear. dann ist

F

nicht injektiv."
Erstmal proforma zu den Begrifflichkeiten:
Die Abbildung vom

R^{3}

zum

R^{2}

ist Linear, dies bedeutet, es ist f(ax)=af(x) und

f (x + y) 0 f (x) + f (y)

.
Injektiv beschreibt die Linkseindeutigkeit, sprich jedes urbild bildet höchstens einmal in der Zielmende ab.
Diese Informationen nun auf die Aufgaben stellung zu übertragen und anzuwenden, bereitet mir immer probleme.
wie kann ich mir die Abbidung vorstellen?
Bsp.:

(x 1, x 2, x 3)

nach

(2 x 1 - x 2, x 3)

ist Linear

(x 1, x 2, x 3)

nach

(2 x 1 + 1 - x 2, x 3)

wäre nicht Linear
oder sobalt ein xn

n {1,2,3}

ein xn^2 wäre, dann wär diese Abbildung surjektiv und ab diesen Punkt frag ich mich dann, wie kann ich diese kleinen gedankengänge nützlich nutzen....

ermanus aktiv_icon

15:53 Uhr, 16.09.2016

Hallo TidoW,
vielleicht nützt Dir die folgende Bemerkung:
Wenn F Injektiv wäre, dann würde nur der Nullvektor
auf den Nullvektor abgebildet werden und kein Vektor ungleich Null.
Vielleicht kannst Du damit einen Widerspruch konstruieren?
Gruß ermanus

Bummerang

16:08 Uhr, 16.09.2016

Hallo,

ein sei

B_{3} = {\vec{b_{1}}; \vec{b_{2}}; \vec{b_{3}}}

eine Basis des

ℝ^{3}

. Dann kann jedes Element aus

\vec{x} \in ℝ^{3}

eindeutig dargestellt werden als:

\vec{x} = x_{1} \cdot \vec{b_{1}} + x_{2} \cdot \vec{b_{2}} + x_{3} \cdot \vec{b_{3}}

Dann gilt wegen der Linearität der Abbildung

F,

dass

F (\vec{x}) = F (x_{1} \cdot \vec{b_{1}} + x_{2} \cdot \vec{b_{2}} + x_{3} \cdot \vec{b_{3}}) = x_{1} \cdot F (\vec{b_{1}}) + x_{2} \cdot F (\vec{b_{2}}) + x_{3} \cdot F (\vec{b_{3}})

ist. Ausserdem gilt für ein beliebiges

\vec{x} \in ℝ^{3} :

\vec{x} + (- 1) \cdot \vec{x} = \vec{o_{3}}

also:

F (\vec{o_{3}}) = F (\vec{x} + (- 1) \cdot \vec{x}) = F (\vec{x}) + (- 1) \cdot F (\vec{x}) = \vec{o_{2}}

Betrachten wir nun alle

\vec{x} \in ℝ^{3},

die auf das

\vec{o_{2}}

abbilden. Für die gilt:

F (\vec{x}) = x_{1} \cdot F (\vec{b_{1}}) + x_{2} \cdot F (\vec{b_{2}}) + x_{3} \cdot F (\vec{b_{3}}) = \vec{o_{2}}

Angenommen

F

wäre injektiv, dann müssten sich zwangsläufig

x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0

ergeben, denn wir wissen bereits, dass

F (\vec{o_{3}}) = \vec{o_{2}}

ist und für

\vec{o_{3}}

gilt:

\vec{o_{3}} = 0 \cdot \vec{b_{1}} + 0 \cdot \vec{b_{2}} + 0 \cdot \vec{b_{3}}

.

Wenn sich aber aus

x_{1} \cdot F (\vec{b_{1}}) + x_{2} \cdot F (\vec{b_{2}}) + x_{3} \cdot F (\vec{b_{3}}) = \vec{o_{2}}

zwangsläufig ergibt, dass

x_{1} = x_{2} = x_{3}

ist, dann sind die Vektoren

F (\vec{b_{1}}), F (\vec{b_{2}})

und

F (\vec{b_{3}}) \in ℝ^{2}

linear unabhängig. Damit hätten wir in

ℝ^{2}

drei linear unabhängige Vektoren und der

ℝ^{2}

ist dreidimensional. Das ist ein Widerspruch, weshalb die Annahme, dass

F

injektiv ist, falsch war. Deshalb ist

F

nicht injektiv.

Shipwater aktiv_icon

19:28 Uhr, 16.09.2016

Kennst du schon die Dimensionsformel? Damit kriegst du die Aussage sofort geschenkt, denn aus

3 = dim K e r n (F) + R a n g (F)

und

R a n g (F) \leq 2

(beachte

F : ℝ^{3} \to ℝ^{2})

folgt ja sofort

dim K e r n (F) \geq 1

.
Zum Nachlesen: de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz#Satz

TidoW aktiv_icon

19:05 Uhr, 18.09.2016

danke für die zahlreichen Antworten, und Lösungsmöglichkeiten :-)

TidoW aktiv_icon

19:26 Uhr, 18.09.2016

"3=dimKern(F)+Rang(F) und Rang(F)≤2 (beachte F:ℝ3→ℝ2) folgt ja sofort dimKern(F)≥1."
dazu hab ich noch eine schnelle Rückfrage, da mir das auf dem erst blick nicht ganz schlüssig ist, daher wollte ich die Dim Formel etwas umschreiben:
3=dimKern(F)+Rang(F) mit dimKern(F)=n-Rang(F)
3=n-Rang(F)+Rang(F)

3 = 3 - 2 + 2

3 = 3

und hierraus schlussfolgert man nun,

R^{2}

dreidimensional ist? mir ist das schon fast unangenehm, eventuellen Müll zu schreiben :-D)

ledum aktiv_icon

20:03 Uhr, 18.09.2016

woher stammt denn das "3=n-Rang(F)+Rang(F)" bzw was soll das?
n*bla-bla=n ist doch nicht sehr sinnig?
Gruß ledum

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