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Abbildung von N auf N - Plus/Minus bei Betrag?
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Abbildung, Betragsfunktion, natürliche Zahlen
 
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Hallo, ich komme bei einem Problem nicht weiter, wenn ich folgende grundsätzliche Frage nicht klar habe: Sind die Angaben von Definitions- und Wertebereich Einschränkungen der Ein- und Ausgangsparameter, oder beschränken sie die Abbildung auch bei den Rechenoperationen? Als konkretes Beispiel: Eine Abbildung . Wird hier eine Fallunterscheidung des Betragsterms vorgenommen , oder entfällt diese, weil der Definitionsbereich nur die positiven Zahlen umfasst, also nicht negativ sein kann? Gelten somit in andere Rechenregeln als in ? Ich habe das Beispiel bewusst so gewählt, dass auch negative Werte nicht zu Lösungen außerhalb des Wertebereichs führen. Danke für Eure Meinungen! LG, Niconico |
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an was für rechenregeln denkst du da? komm., assoz. und distr. gelten in . "Sind die Angaben von Definitions- und Wertebereich Einschränkungen der Ein- und Ausgangsparameter, oder beschränken sie die Abbildung auch bei den Rechenoperationen? " - es sind schon und auf definiert, aber eigendlich nicht der betrag, da der in keinen sinn macht, da eh alle nat. zahlen nicht neg. sind. keine ahnung ob ich deine frage jetzt beantwortet hab, wenn nicht frag einfach nochmal etwas konkreter. lg |
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Hallo weisbrot, danke für Deine Rückmeldung. Du schreibst, Betrag ist in N nicht definiert, weil diese Verknüpfung in N keinen Sinn macht. Heißt das auch, Minus ist in N nicht definiert? Ich kann im Bereich der positiven Zahlen wunderbar subtrahieren, ohne unter 1 zu rutschen. Wenn ich aber in N subtrahieren darf, dann könnten durchaus Teile eines Terms kleiner 0 sein, und dann macht Betrag durchaus Sinn. Diese Frage interessiert mich aus zwei Gründen: a) Ich fange gerade an, Informatik zu studieren, und interessiere mich im Prinzip Null für Mathe. Anwendbar und hilfreich zur Modellierung wäre Mathe, wenn die Spielregeln vergleichbar wären. Eine Abbildung wäre dann vergleichbar mit einer Prozedur, die Variablen wären die Eingangsparameter und das Bild der Abbildung wären die Werte der Ausgangsparameter. (Definitions- und Wertebereich finden sich dann in dem gewählten Zahlenformat bzw. den Vor- und Nachbedingungen der Prozedur wieder.) Der Computer kennt keine unendlich großen Zahlen. Wähle ich den Zahlenbereich zu eng, produziere ich u.U. einen Überlauf in einem Rechenzwischenschritt und die weitere Rechnung ist kompletter Blödsinn. Ich kann meine Prozedur allerdings darauf vorbereiten und die Werte der Eingangsparameter innerhalb der Prozedur in ganz andere Zahlenformate umwandeln, damit für alle Zwischenschritte ausreichend Platz ist. D.h. z.B. Eingangsparameter nur >0, aber innerhalb der Prozedur kann ich subtrahieren wie ich lustig bin (mathematisch gesprochen: mit völlig anderem Definitionsbereich für die Variablen). Das ist korrekt, solange das Endergebnis in das zulässige Zahlenformat für die Ausgangsparameter passt und mit den Nachbedingungen adäquat überprüft wird. Und nun würde ich gerne wissen, ob ein Mathematiker auch so denkt: Innerhalb des Terms ist alles erlaubt (also auch Subtraktionszwischenschritte mit negativem Ergebnis in N, und dann müsste auch Betrag so ausgewertet werden, wie das sonst auch geschieht, nämlich zu +/- x), und nur das Endergebnis muss das richtige Format haben. b) Der zweite - konkrete - Grund für meine Frage ist, dass ich - wohl eine beliebte Anfängeraufgabe - eine Abbildung erfinden soll, die surjektiv ist, und bei der das Urbild von 1 unendlich viele Elemente hat. Dazu muss ich einen unendlich großen Teil des Definitionsbereichs auf 1 abbilden (z.B. die Hälfte der Elemente) und sicherstellen, dass die andere Hälfte je zwei Elemente trifft. Dazu brauche ich eine Rechenoperation, die zu zwei Ergebnissen auswertet. Ich traue mich jedenfalls nicht +/-1 einzubauen. Mir fällt Betrag und Wurzel aus ein, aber - anders als üblich - wurde das Ergebnis von "Wurzel" von der Dozentin auf den positiven Teil eingeschränkt, es fällt daher selbst dann aus, wenn der Definitionsbereich Z wäre. Ich kann mir mit Fallunterscheidungen behelfen, aber es wäre hübscher gewesen, die Abbildungsvorschrift in einen Term zu gießen. Aber Grund b ist nur Nebensache (Auslöser) für meine Frage, es interessiert mich prinzipiell. Kurz gesagt: Darf ich Minuszeichen in Abbildungsvorschriften von N auf N verwenden? Wenn ja, muss ich dann für jeden Zwischenschritt prüfen, ob er ein Ergebnis in N liefert, und Ergebnisse unter 1 ausschließen? LG Nicola |
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also, ja, negative zahlen bzw. subtraktion sind normalerweise nicht teil der natürlichen zahlen. du kannst aber auch die nat. zahlen als teilmenge der ganzen oder rat. oder was auch immer auffassen, und dann ist subtraktion definiert. man definiert auch manchmal, wenn es hilfreich ist, abgeschnittene multiplikation auf sodass ihre anwendung also nicht aus herausführt. ich meinte, dass vorallem speziell hier der betrag keinen sinn macht, da er eh nur nat. zahlen als eingabe bekommt. also was du meinst - innerhalb der funktion wilde rechnungen vornehmen, hauptsache die ausgabe passt - ist natürlich möglich. im täglichen gebrauch macht sich der gemeine mathematiker da auch keine sorgen drum. die konsistenz davon muss aber trotzdem formal begründet werden können (denn wie gesagt ist die übl. subtr. nicht auf def.; . wäre die benutzung von scheinbar kein problem, aber rein formal ergibt der term wenn natürliche zahl ist, eig. keinen sinn). man kann dann . einfach die abgeschnittene mult. auf definieren, oder als teilmenge von berachten (man "schiebt" dann sozus. die kanonischen einbettung wobei die entspr. äquivalenzklasse in ist, die die zahl representiert, dazwischen - dann wäre deine abbildung eigentlich ° ° wobei das gleiche wie nur mit statt ist (ganz formal)). aber wie gesagt, der gemeine mathematiker denkt darüber auch nur selten nach, und ich glaube sogar, dass viele sich des eben gesagten kaum bewusst sind.. also kurz gesagt: du darfst "-" verwenden, und als nicht-mathematiker musst du dir auch eig. keine gedanken darüber machen warum du das darfst;-), aber kannst du natürlich. und zu deiner letzten frage: wenn du abgeschnittene subtr. verwendest kann überhaupt kein zwischenergebnis entstehen (weil für dann hast du aber nat. unter umständen nicht mehr dir bekannten rechenregeln aus (wie du dir sicher denken kannst). bei der 2. genannten möglichkeit werden ja innerhalb der rechnungen die zahlen als ganze zahlen aufgefasst, also gibt es hier bezüglich deiner frage keine probleme. so, das war ein langer text, hoffe hab alle deine fragen beantwortet;-) lg |
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Hallo weisbrot, danke für deine ausführliche Antwort. Damit habe ich jetzt Klarheit. Ich muss noch ein wenig drüber nachdenken, ob das die Mathematik für Informatiker brauchbarer macht oder eher weniger, aber grundsätzlich befriedigt es mich mehr, wenn man konsequent sagt: wo keine negativen Zahlen, da keine Subtraktion. Danke nochmal! LG, niconico |
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