Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Abbildung von Restklassen nach Restklassen...?

Abbildung von Restklassen nach Restklassen...?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Ringe

Lineare Abbildungen

Teilbarkeit

Tags: Abbildung, bijektiv, Ganze Zahlen, injektiv, Linear Abbildung, modulo, Restklasse, Restklassenring, Ring, surjektiv

SimplEasy

19:21 Uhr, 18.02.2015

Gegegeben ist die Abbildung

f

durch:

ℤ/5 → ℤ/3,

0 \mapsto - 7, 1 \mapsto 0, 2 \mapsto 5, 3 \mapsto 11, 4 \mapsto - 31, 5 \mapsto - 4, 6 \mapsto 66

Jetzt soll ich überprüfen, ob die Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv oder keins davon ist..

Um das zu überprüfen, möchte ich erst mal wissen, wie ich die Abbildung verstehen muss???

Heißt das bei der ersten Abbildung

z . B

. der Rest

0 \in ℤ / 5

wird auf den Rest

1 \in ℤ / 3

abgebildet, weil man ja modulo rechnet...? Oder ist was anderes gemeint?

Wenn das so gemeint ist, wie ich das hingeschrieben habe, warum steht dann links eine 6 ? Die 6 ist doch gar nicht in

ℤ / 5

oder??????

BITTE um Hilfe. VIELEN DANK! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ganze Zahlen addieren/subtrahieren

michaL aktiv_icon

19:27 Uhr, 18.02.2015

Hallo,

> Heißt das bei der ersten Abbildung z.B. der Rest 0∈ℤ/5 wird auf den Rest 1∈ℤ/3 abgebildet

Nein. Denn

- 7 \equiv 2

mod 3, nicht

- 7 \equiv 1

mod 3.
Die Idee ist aber richtig. Vermutlich wurde auch nicht

0 \mapsto - 7

geschrieben, oder? Eher sind doch Restklassen gemeint, also

\overline{0} \mapsto \overline{- 7}

.

Mfg Michael

SimplEasy

21:38 Uhr, 18.02.2015

Du hast geschrieben, dass

- 7

und 2 bzgl.

mod 3

gleich sind.

- 7 mod 3 = 1

und

2 mod 3 = 2,

oder?
Dann sind sie doch nicht gleich..?
Was verstehe ich hier falsch. Bitte um Antwort.

michaL aktiv_icon

23:30 Uhr, 18.02.2015

Hallo,

lies bitte deine Vorlesungsmitschrift.

Es gilt (definitionsgemäß)

a \equiv b

mod

m \overset{}{\Leftrightarrow} m ∣ a - b

.

Da also

- 7 - 2 = 9

und

3 ∣ 9

gelten, gilt offenbar

- 7 \equiv 2

mod 3.

Offenbar NICHT gilt

- 7 \equiv 1

mod 3

Wenn du nun aber ein Vorzeichen zu viel oder zu wenig hättest...

Mfg Michael

SimplEasy

10:11 Uhr, 19.02.2015

Ich versuche es mal...:-)

geg.: ℤ/5 → ℤ/3,

0↦-7,

1↦0,

2↦5,

3↦11,

4↦-31,

5↦-4,

6↦66

1 .) 0

≡

5 mod 5

und

- 7

≡

2 mod 3 \to 5 \mapsto 2

2 .) 1

≡

6 mod 5

und 0 ≡

3 mod 3 \to 6 \mapsto 3

3 .) 2

≡

7 mod 5

und 5 ≡

2 mod 3 \to 7 \mapsto 2

4 .) 3

≡

8 mod 5

und

11

≡

5 mod 3 \to 8 \mapsto 5

5 .) 4

≡

9 mod 5

und

- 31

≡

2 mod 3 \to 9 \mapsto 2

6 .) 5

≡

0 mod 5

und

- 4

≡

1 mod 3 \to 0 \mapsto 1

7 .) 6

≡

1 mod 5

und

66

≡

0 mod 3 \to 1 \mapsto 0

Dann wäre das eine Abbildung. Ich denke trotzdem, dass ich es falsch bearbeitet habe.

Bitte wieder um eine hilfreiche Antwort. Vielen Dank im Voraus! :-)

michaL aktiv_icon

22:38 Uhr, 19.02.2015

Hallo,

wir kommen nicht zueinander.

Die Mengen

ℤ /_{5 ℤ}

und

ℤ /_{3 ℤ}

enthalten Elemente, die selbst wieder Mengen sind.
In der ersten sind etwa die Mengen

\overline{0} := {0; \pm 5; \pm 10; \pm 15; \dots}

\overline{1} := {1; \pm 5 + 1; \pm 10 + 1; \pm 15 + 1; \dots}

\overline{2} := {2; \pm 5 + 2; \pm 10 + 2; \pm 15 + 2; \dots}

\overline{3} := {3; \pm 5 + 3; \pm 10 + 3; \pm 15 + 3; \dots}

und

\overline{4} := {4; \pm 5 + 4; \pm 10 + 4; \pm 15 + 4; \dots}

enthalten.
(In

ℤ /_{3 ℤ}

analog.)

Nun muss für eine Abbildung entweder eine Abbildungsvorschrift oder konkret zu jedem Element in

ℤ /_{5 ℤ}

ein Bild aus

ℤ /_{3 ℤ}

angegeben werden.

Ich verstehe es so, dass

\overline{0} \mapsto \overline{2} " = " \overline{- 7}

\overline{1} \mapsto \overline{0}

\overline{2} \mapsto \overline{2} " = " \overline{5}

\overline{3} \mapsto \overline{2} " = " \overline{11}

\overline{4} \mapsto \overline{2} = " " \overline{- 31}

Alle anderen Schreibweisen sind ziemlicher Kokolores.

Immerhin sieht man hier, ob die Abbildung surjektiv ist oder nicht. Injektiv konnte sie allein aus Kardinalitätsgrunden nicht sein, da

∣ ℤ /_{5 ℤ} ∣ > ∣ ℤ /_{3 ℤ} ∣

. Da sie aus Kardinalitätsgründen nicht injektiv sein kann, kann sie natürlich auch nicht bijektiv sein.

Mfg Michael

SimplEasy

22:59 Uhr, 20.02.2015

Dein Beitrag hätte mir zwar sehr geholfen, aber ich hab es doch selber hinbekommen :-)
Jetzt habe ich alles verstanden.

Die Striche über den Zahlen steht wahrscheinlich für die Restklasse.
Das heißt:

\bar{3}

ist dann die Restklasse von 3 bezüglich modulo

x

...So wie du dann die Mengen der Restklassen nacheinander hingeschrieben hast. Unser Prof akzeptiert das aber auch, wenn wir das ohne dem Strich hinschreiben oder in eckigen Klammern

\to [3]

Es hat mir wirklich jeder einzelner Beitrag von dir geholfen.
Meine Probleme hatte ich bei der Interpretation von den Abbildungen der Reste sozusagen. Desweiteren wusste ich nicht, wie man das mit negativen Zahlen bearbeitet.

Für alle, die es immer noch nicht verstanden haben, wie man modulo mit negativen Zahlen rechnet:
1.Beispiel:

- 3 mod 5 = 2

..denn..

- 3 + 5 = 2

2.Beispiel:

- 14 mod 6 = 4

..denn..

- 14 + 6 + 6 + 6 = 4

ALSO: Man addiert zu der negativen Zahl die Zahl hinzu, wovon man modulo berechnet BIS man über 0 ist ..UND.. die Zahl wo man am Ende ankommt, ist der Rest bzw. das Ergebnis beim Modulo-Rechnen!

Die Prüfung habe ich schon geschrieben. Wenn ich sie nicht bestehe, dann werden deine Beiträge mir trotzdem für die Nachschreibeprüfung helfen :-)

Also VIELEN DANK nochmal für deine Mühe.

MfG

1218687

1218413

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?