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Abbildungen - Mächtigkeit Injektiv und surkjektiv

Universität / Fachhochschule

Tags: Element, injektiv, Mächtigkeit, surjektivität

Sporti97 aktiv_icon

17:00 Uhr, 08.01.2018

Hallo,

ich habe eine Frage zur richtigen Beweisstruktur...
Die Lösung ist ansich offensichtlich, allerdings habe ich keine wirkliche Idee, wie ich das Ganze beweisen kann.

zu

a)

das ist natürlich logisch, denn bei Injektivität muss ja jedem Element aus der Menge

X,

genau ein Element aus der Menge

Y

zugeordnet werde. Also jedes Element aus der Definitionsmenge muss ein Element in der Zielmenge treffen. Allerdings muss nicht jedes Element aus der Zielmenge ein Urbild besitzen. Somit muss die Anzahl der Elemente in

X \leq

der Anzahl der Elemente von

Y

sein.

zu

b)

Bei Surjektiv muss ja jedes Element der Zielmenge getroffen werden, allerdings kann es auch von 2 verschiedenen Elementen getroffen werden. Somit ist ja die Anzahl der Elemente aus der Def.menge

X \geq

der Anzahl der Elemente der Zielmenge

Y

c)

wenn es bijektiv ist, dann wird ja jedem Element aus

X

genau ein Element aus

Y

zugeordnet und jedes Element aus

Y

besitzt genau ein Urbild in X. Somit muss die Anzahl der Elemente ja in beiden Mengen gleich groß sein.

und bei

d)

wenn #X = #Y gilt, dann ist nach

c)

die Abbildung ja bijektiv und wenn eine Abbildung Bijektiv ist, dann ist sie ja Injektiv und surjektiv.
Folglich stimmt die Aussage ja.

Vielleicht hab ich da jetzt auch einen Denkfehler?

Macht man das Ganze dann am besten per indirekten Beweis, indem man man annimmt Aussagen gelten nicht und dann zu einem Widerspruch führt?
Ich weiß leider nicht wie ich das formal am besten machen soll...

Wäre über jede Hilfe dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

17:49 Uhr, 08.01.2018

Hallo,

du hast schon dir richtigen Gedanken. Allerdings sind sie nicht formal genug.
-> Weniger reden, mehr Mathe!

Bei a) (aber auch bei b) und c) ) sind Äquivalenzen vorhanden.
Wie du sicher schon seit ein paar Wochen weißt, beweist man Äquivalenzen der Art

A \overset{}{\Leftrightarrow} B

getrennt nach den Implikationen

A \Rightarrow B

und

B \Rightarrow A

(wenn eine direkte Äquivalenzkette nicht erkennbar ist).

Mal als Beispiel für a):
Zu zeigen: Es gibt eine injektive Abbildung

φ : X \to Y

\overset{}{\Leftrightarrow}

∣ X ∣ \leq ∣ Y ∣

\Rightarrow

": Sei also

φ : X \to Y

injektiv und

X := {x_{1}, \dots, x_{m}}

und

Y = {y_{1}, \dots, y_{n}}

.
Offenbar gilt:

φ (x_{1}), \dots, φ (x_{m}) \in φ (X) := {φ (x) ∣ x \in X}

sind verschiedene Elemente, d.h. es gilt

∣ X ∣ \leq ∣ φ (X) ∣

(sogar "=", brauchen wir aber nicht).
Außerdem gilt mit

Z := Y \ φ (X)

∣ Y ∣ = ∣ φ (X) ∣ + ∣ Z ∣ \geq ∣ φ (X) ∣ \geq ∣ X ∣

, was zu zeigen war.

"

\Leftarrow

": Sei also

X = {x_{1}, \dots, x_{m}}

und

Y = {y_{1}, \dots, y_{n}}

mit

m \leq n

.
Dann ist

φ : {\begin{array}{ccc} X & \to & Y \\ x_{i} & \mapsto & y_{i} \end{array}

wohldefiniert und injektiv.
Wohldefiniert: Wegen

m \leq n

existiert für jedes

x \in X

ein Bild.
Injektivität: Sei

φ (x) = φ (x ʹ) = y_{i}

(mit

1 \leq i \leq n

). Dann folgt aber

x = x_{i} = x ʹ

, also insbesondere

x = x ʹ

.

b) läuft nach ähnlichem Muster ab, wobei man sich a) zunutze machen kann, wenn man eine geeignete injektive Abbildung definiert.
c) braucht nur beide Ergebnisse a) und b) zusammenzufassen.
Bei d) sind es ja eigentlich zwei verschiedene Aussagen, die beide indirekt gezeigt werden können.

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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