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Abbildungen R^2 nach R

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

KD997 aktiv_icon

14:23 Uhr, 01.08.2018

Guten Tag:-),

ich weiß leider nicht genau wie man nachprüfen kann, ob eine Abbildung

R^{2}

nach

R

linear ist.

Ich weiß, dass es die Bedingungen der Homogenität und Additivität erfüllen muss, aber ich konnte dies nur an Beispielen mit

R^{n}

nach

R^{M}

schriftlich nachweisen.

Könnte jemand mir das anhand von einem Beispiel zeigen? Also wo man sieht wie es ist wenn es nicht linear ist und wie es ist wenn es linear ist.

Ich habe gelesen, dass bei Abbildungen von

R^{n}

nach

R

nur die linear sind, die so aussehen:

f : R^{n} \to R

mit

f (x) = < \vec{a}, \vec{x} >,

wobei a ein gegebener Vekor sein soll.

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14:29 Uhr, 01.08.2018

vgl:
www.onlinemathe.de/forum/Abbildung-Was-heisst-R2-R-

KD997 aktiv_icon

14:32 Uhr, 01.08.2018

Diesen Beitrag habe ich auch gelesen, aber darin geht es ja nicht um Linearität.

Roman-22

14:58 Uhr, 01.08.2018

>

Ich habe gelesen, dass bei Abbildungen von Rn nach

R

nur die linear sind, die so aussehen:
Naja, jede lineare Abbildung von

ℝ^{n} \to ℝ^{m}

lässt sich darstellen als

f (x) = A \cdot x

.
Dabei ist A eine

m \times n

Matrix und

x \in ℝ^{n}

.

Für

ℝ^{2} \to ℝ

bedeutet das, dass jede derartige lineare Abbildung als

f ((\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})) = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2}

geschrieben werden kann. Diese Multiplikation einer

1 \times 2

Matrix A mit der

2 \times 1

Matrix (Vektor

x)

kann im Reellen auch als Vektorprodukt

< A^{T}; x >

gesehen werden.

Ja, und wenn du Beispiele benötigst:

f : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \to 5 x_{1} - 7 x_{2}

ist linear

f : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \to 5 x_{1} - 7 x_{2} + 3

ist nicht linear

f : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \to 5 x_{1}^{2} - 7 {\sqrt{x}}_{2}

ist nicht linear

Den Wiki-Artikel über lineare Abbildungen hast du ja vermutlich schon gelesen, oder?
de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

KD997 aktiv_icon

17:04 Uhr, 01.08.2018

Danke für deine Erklärung, hat mir weitergeholfen. Nur tue ich mich mit diesem Thema etwas schwer, von daher würde ich nochmal eine Frage stellen zu deiner Antwort.

Also ich habe mal versucht die Linearität nachzuweisen von deinen Beispielen:

f : R^{n} \to R

mit

f (x_{1}, x_{2}) \to 5 x_{1} - 7 x_{2}

\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) \vec{w} = (w_{1}, w_{2})

f (a \cdot \vec{v} + \vec{w}) = f (a \cdot v_{1} + w_{1}, a \cdot v_{2} + w_{2}) \vec{v}, \vec{w} \in R^{2}

und

a \in R

= 5 a \cdot v_{1} + 5 w_{1} - 7 a \cdot v_{2} - 7 w_{2}

= a \cdot (5 v_{1} - 7 v_{2}) + (5 w_{1} - 7 w_{2})

= a \cdot f (\vec{v}) + f (\vec{w})

wäre das als Beweis richtig? Wenn ja sind dann doch alle nicht linear, die noch eine Konstante habe wie bei deinem zweiten beispiel mit der

+ 3

.

Kannst du mir nochmal vielleicht kurz erklären, wieso diese Matrixschreibweise homogenität und additivität zeigen soll, verstehe das nicht so ganz.

Roman-22

17:24 Uhr, 01.08.2018

>

wäre das als Beweis richtig?
Ja.
Es würde auch reichen, die oben erwähnte Matrix A anzugeben. Wenn es eine solche gibt, ist die Abbildung linear.

f : \vec{x} \to (\begin{matrix} 5 & - 7 \end{matrix}) \cdot \vec{x}

>

Wenn ja sind dann doch alle nicht linear, die noch eine Konstante habe wie bei deinem zweiten beispiel mit der

+ 3

.
genau so ist es.
Linear sind nur die Abbildungen

(x_{1}; x_{2}) \mapsto a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2}

>

Kannst du mir nochmal vielleicht kurz erklären, wieso diese Matrixschreibweise homogenität und additivität zeigen soll, verstehe das nicht so ganz.

Folgt im Wesentlichen aus der Distributivität der Matrizenmultiplikation und der Kommutativität der Multiplikation eines Skalars mit einer Matrix.

f : ℝ^{2} \to R, \vec{x} \mapsto A \cdot \vec{x}

f (a \cdot \vec{v} + \vec{w}) = A \cdot (a \cdot \vec{v} + \vec{w}) = A \cdot a \cdot \vec{v} + A \cdot \vec{w} = a \cdot A \cdot \vec{v} + A \cdot \vec{w} = a \cdot f (\vec{v}) + f (\vec{w})

Genaueres zum Isomorphismus zw linearen Abbildungen und Matrizen findest du zB hier:
www.math.tugraz.at/%7Eganster/lv_lineare_algebra_phy/10_lineare_abbildungen_und_matrizen.pdf
http//www.mathematik.uni-muenchen.de/%7Ejeblick/abbundmat.pdf
insbesondere auch die andere Richtung, also dass jede lineare Abbildung durch eine solche Matrix dargestellt werden kann.

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