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Abbildungen/Mengen
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Tags: Eigenschaften von Abbildungen
 
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Hallo, haben eben schon eine Frage zu Injektivität, Surjektivität und Bijektivität gestellt und leider wohl doch weniger von Thema verstanden, als ich dachte, weil ich auch die zweite Aufgabe leider nicht lösen kann (obwohl die relativ einfach aussieht). Sie lautet: Sei eine Menge und eine Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: ist injektiv ist surjektiv ist bijektiv Ich hoffe mir kann jemand so einfach wie möglich erklären, wie man diese Aufgabe löst! Vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Sicher, dass die Aufgabenstellung genau so lautet? |
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Hallo, kann es sein, dass noch gefordert ist, dass ENDLICH ist (unwesentliches Detail, ich weiß)? Wenn nicht, ist die Behauptung im allgemeinen falsch. Als Gegenbeispiel diene: , ist sicher injektiv, aber weder surjektiv noch bijektiv. Mfg Michael |
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Oh sorry, ja da steht ist eine ENDLICHE Menge, wie geht die Aufgabe dann? |
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Hallo, welche Ergebnisse (Sätze, Lemmata, Theoreme) habt ihr denn für endliche Mengen bzgl. injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildungen? Mfg Michael |
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Also ich habe hinter Lemma eine Gleichung mit Vereinigungszeichen meinst du die? Ansonsten habe ich nur die Definitionen der Begriffe, möchtest du wissen, was da steht? |
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Hallo, ich hab mich da falsch ausgedrückt. Habt ihr Ergebnisse, die etwas über die Kardinalität zweier Mengen aussagt, zwischen denen es injektive/surjektive/bijektive Abbildungen gibt? Mfg Michael |
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Wir haben nur noch etwas über die Verknüpfung oder Komposition zweier Abbildungen, wo es . darum geht, dass eine Verknüpfung assoziativ aber nicht kommunikativ ist und dass als bijektive Abbildung die inverse Abbildung definiert ist.. mehr steht da nicht wirklich, wenn das das richtige ist, tippe ich es ab..? |
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Diese Aufgabe sollte man vielleicht in zwei Parts unterteilen. Einmal sollte man sich anschaulich klar machen, dass diese Äquivalenzen gelten (das ist eigentlich nicht so schwierig, wenn man die Bedeutung der Begriffe kennt). Und der andere Teil wäre dann seine Ideen mathematisch sauber aufzuschreiben. Du solltest zunächst mit dem ersten Part beginnen, also denke dich in die Aufgabe ein. Dann noch was allgemeines zu solchen Äquivalenzketten: Anstatt und zu zeigen, ist es einfacher sich auf den "Ringschluss" zu beschränken. Du musst also folgende drei Implikationen zeigen: und . Dabei ist die Implikation trivial, denn wenn bijektiv ist, dann ist laut Definition ja auch schon injektiv. Und die Implikation ist gleichzusetzen mit " surjektiv injektiv " denn " surjektiv surjektiv " ist ja trivial. Kurz gesagt: Du brauchst die Aussage eigentlich nicht weiter beachten. Es reicht die Äquivalenz von und zu zeigen. Du gehst nun also aus von einer endlichen Menge und der injektiven Funktion . Überleg dir nun warum dann auch schon surjektiv ist. |
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Also ich hab mir jetzt noch folgendes überlegt: Die Voraussetzungen (Definitionen): (injektiv) (surjektiv) Erste Idee: (negieren: (die Idee war, dass man aus surjektiv in injektiv einsetzt) Zweite idee: (hier war die Idee, dass einfach beide Definitionen gelten müssen) also das beantwortet jetzt zwar nicht deine Frage, hab aber gerade mit einer Freundin telefoniert und das ist die einzige Idee die wir dazu haben. Kannst du mir so weiter helfen? |
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Ich kann jetzt leider nicht viel anfangen mit dem was du aufgeschrieben hast. Ich versuch die Problematik mal mit Worten zu erläutern: Da injektiv ist werden keine zwei unterschiedlichen Elemente der Definitionsmenge auf das selbe Element der Zielmenge abgebildet. Also hat jedes Element der Definitionsmenge ein anderes Bild. Desweiteren wissen wir, dass Definitionsmenge und Zielmenge identisch sind (also insbesondere gleich viel Elemente enthalten). Da jedem Element aus der Definitionsmenge ein anderes Element zugeordnet wird, muss daher auch jedes Element der Zielmenge getroffen werden. Denn Definitionsmenge und Zielmenge haben ja wie gesagt die gleiche Anzahl an Elementen und kein Element der Zielmenge wird mehrfach angenommen. So viel mal zur Erklärung. Du hast in dem anderen Thread geschrieben, dass die Aufgaben aus einem Mathe-Vorkurs sind. Mag sein, dass dort solch eine Erklärung ausreichend ist. Im richtigen Mathestudium würde ich das ganze dann aber lieber per vollständiger Induktion zeigen. |
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Ja mir ist klar , dass das nicht ausreichen würde.. aber wie gesagt in diesem Kurs wird alles nur kurz angeschnitten und jeden Tag hören wir jede Menge neue Begriffe, hab die Bezeichnung auch noch nie zuvor gehört. Deine Erklärung verstehe ich, auch deine Aussagen über die Äquivalenzzusammenhänge, nur rechenen kann ich leider immer noch nicht, ich glaube dafür muss ich mich noch intensiver mit dem Thema auseinander setzen. Aber darf ich dich fragen wie du jetzt zu welchem Ergebnis, also der Lösung der Aufgabe kommen würdest? Vielleicht kann ich es anhand einer Rechnung nachvollziehen und wenn ich mich noch mehr mit dem Thema beschäftige sicherlich auch i-wann verstehen. Danke schonmal, du hast mir trotzdem viel geholfen! |
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Also ich wüsste jetzt nicht wie man das formal wirklich korrekt zeigen kann ohne vollständige Induktion zu bemühen. Kennst du das Beweisverfahren der vollständigen Induktion denn schon? Eventuell kann dir jemand, der mehr Erfahrung hat als ich, ja noch einen anderen Weg nennen. |
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Ja wir haben das auch in dem Kurs kurz gehabt und ich konnte es auch ein bisschen nachvollziehen- nur ebenfalls nicht selbständig aufstellen & rechenen, weil ich das Thema auch noch nie zuvor hatte. |
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Hört sich ja nicht so an als wäre der Vorkurs sonderlich hilfreich. Aber im Studium soll es ja auch ganz anders werden als in der Schule. Da wird sehr viel Stoff in kurzer Zeit durchgenommen und man muss zu Hause halt so einiges nacharbeiten. Aber ihr werdet die Aufgabe doch bestimmt auch im Vorkurs besprechen. Da wirst du dann ja sehen was genau verlangt war. Das würde mich dann übrigens auch interessieren. |
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Hallo, ich würde ebenso wie der geschätzte Kollege Shipwater die Äquivalenz "injektiv <=> surjektiv" zeigen, woraus dann stets bijektiv folgt. Die Umkehrung (bijektiv => injektiv/surjektiv ist ja trivial). Vorgehen würde ich so: injektiv => surjektiv: Sei also die Abbildung injektiv. Bezeichne die Menge aller Bilder in unter . Weiter bezeichne die Menge aller Elemente, die KEINE Bilder unter sind. Klar ist (hoffentlich), dass genau dann surjektiv ist, wenn gilt und das beweisen wir jetzt. Zuerst halten wir folgende eher einfache Erkenntnisse fest: (1) und sind elementfremd, d.h. . Es gibt kein Element, dass ein Bild ist und zugleich auch wieder nicht! (2) , d.h. ein Element ist entweder Bild oder eben keins. Etwas anderes gibt es nicht. Nehmen wir nun mal an, wäre nicht leer, dann hätte echt weniger Elemente als , was aus (1) und (2) folgt. Jetzt ist die Frage, ob man eine injektive Zuordnung von nach hinkriegt, wenn echte Teilmenge von ist. Das geht nicht. Seien etwa die Elemente von Socken, ein Schrank, dessen Elemente Schubladen sind. (Es geht eher um die Anzahl dabei) Versuchen wir jede Socke in eine Schublade stecken (das ist die Zuordnung , die wir vornehmen), so muss in mindestens einer Schublade mehr als eine Socke stecken (mehr Socken als Schubladen). Also kann es keine injektive Zuordnung geben (dann würde immer höchstens eine Socke in jeder Schublade landen). Also führt die Annahme, dass nicht surjektiv ist, zum Widerspruch, dass dann auch nicht injektiv gewesen sein kann. Also Beweis durch Widerspruch. Umgekehrt ist der Beweis etwas einfacher (hoffe ich). Wir setzen jetzt also mal voraus, dass die Abbildung surjektiv ist. Dann sei die Menge aller Elemente, die mehr als ein Urbild unter haben. Ein Urbild hat ja jedes Element von , da die Abbildung ja surjektiv/als surjektiv vorausgesetzt ist. Wir nehmen an, habe mehr als kein Element, d.h. ist nicht injektiv. Jetzt müssen wir uns nur noch vor Augen führen, dass jedem Element der Definitionsmenge einer Abbildung nur genau ein(!) Bild zugeordnet werden kann. Dann zählen wir die Elemente der Definitionsmenge anhand der Bilder grob ab. Sei mal die Anzahl der Elemente von , die Anzahl der Elemente von und die Anzahl der Elemente, die also genau ein Urbild haben. Dann gilt: Widerspruch. Damit meine ich gezeigt zu haben, dass bei endlichen Mengen injektiv und surjektiv das gleiche sind. Die beiden Teilbeweise haben etliches in sich. Schau mal, ob du alles verstehst! Gerade in der Gleichungskette im letzten Teil steckt was drin! Könnte mir gut vorstellen, dass du da noch Fragen hast. Mfg Michael |
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