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Abbildungmatrix Spiegelungen in R² etc
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Eigenwert
 
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Da ich wegen Grippe gefehlt habe brauche ich die Lösungen für die Aufgaben, ich habe es schon allein versucht, seit Sonntag, aber ich komm da echt nicht weiter. Ist nicht meine Art, aber die Abgabe ist bald und ich habe noch soviel nachzuholen und einiges abzugeben.. das nur wegen 1 Woche krank :/. Aufgabe 1: Eigenwerte und Eigenvektoren Gegeben sei die Matrix A = (0 2 −1 2 −1 1 2 −1 3) (a) Stellen Sie das charakteristische Polynom pA(lambda) auf, und bestimmen Sie alle Eigenwerte von A. (b) Bestimmen Sie zu den Eigenwerten jeweils die zugehörigen Eigenräume. Aufgabe 2: Spiegelung in R2: (a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A zur Spiegelung des R2 an der Geraden g : 2x + y = 0. Fertigen Sie dazu eine Skizze an. Ist A orthogonal? Ermitteln sie det(A). (b) Bestimmen Sie das Spiegelbild e4 des Dreiecks 4 mit den Eckpunkten P = (1, 0)T , Q = (0, 1)T und R = (1, 1)T . Wie lauten die Bilder dieser Eckpunkte? Fertigen Sie auch hier eine Skizze an. Aufgabe 3: Drehungen in R3 und Basiswechsel Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A Element R3×3 (bez. der Standardbasis) der Drehung des R3 um den Winkel alpha = - 30° 6 um die Drehachse ~v1 = 1 geteilt wurzel3 (1,1,1) Gehen Sie wie folgt vor: (a) Erg¨anzen Sie ~v1 zu einer Basis B := {~v1, ~v2, ~v3} aus orthogonalen Einheitsvektoren. (b) Wie lautet die Abbildungsmatrix A der Drehung bez. dieser Basis B? (c) Zeigen Sie, dass A eine orthogonale Matrix ist. (d) Wie berechnet sich nun A aus e A und der Basistransformationsmatrix C, welche B in die Standardbasis übersetzt? Berechnen Sie A exakt oder n¨aherungsweise. Aufgabe 4: Lineare Abbildungen und Basiswechsel Betrachten Sie die lineare Abbildung alpha: R2 --> R2, gegeben durch alpha((1, 3)T ) = 4 · (1, 3)T , alpha((1, 1)T ) = −(1, 1)T . * (a) Bestimmen Sie (ohne explizite Rechnung!) eine Basis B = {~b1,~b2} des R2, bez. welcher sich die Abbildungsmatrix C dieser Abbildung in Diagonalgestalt schreiben lässt. (b) Bestimmen Sie nun die Abbildungsmatrix A der linearen Abbildung bez. der Standardbasis. (c) Berechnen Sie nun '(2, 0), und zwar (c1) indem Sie zunächst (2, 0)T = 3(1, 1)T −(1, 3)T benutzen und anschließend alpha(2, 0) aus (*) sowie der Linearit¨at von ' ermitteln; (b) indem Sie zweitens Ihr Resultat aus Aufgabenteil (b) verwenden und alpha(2, 0) direkt aus einer Matrizenmultiplikation gewinnen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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keiner? mir wäre jegliche lösung hilfreich. bei der 1. muss man ja polynomdivision machen um es auf 2 unbekannte zu bringen, danach erhalte ich lambda = 2 .. das wars aber auch schon :/ |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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