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Abbildungsmatrix angeben

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Sonstiges

Tags: Abbildung, Matrix

terpetinzzz aktiv_icon

21:01 Uhr, 13.06.2022

lineare Abbildung

φ

wird der Punkt

P (x_{0}, y_{0})

R^{2}

im math. positiven Drehsinn um 30° um den Ursprung gedreht.

Es soll die Abbildungsmaterix der Abbildung angegebn werden. was steht in den Spalten der Matrix?

Wie sollte man hier vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:48 Uhr, 13.06.2022

(\begin{matrix} cos (\frac{π}{6}) & - sin (\frac{π}{6}) \\ sin (\frac{π}{6}) & cos (\frac{π}{6}) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \end{matrix})

terpetinzzz aktiv_icon

00:09 Uhr, 14.06.2022

Vielen Dank, wie sind sie darauf gekommen?

JaBaa aktiv_icon

01:16 Uhr, 14.06.2022

Hi,

wir können es ja mal versuchen zusammen zu lösen wenn du willst. Wir wissen dadurch, dass

φ

ein längenerhaltender endomorphismus ist, dass

φ

ein orthogonaler endomorphismus ist. (Ist dir diese Aussage klar ?). Damit wissen wir, dass die Abbildungsmatrix auch orthogonal ist. Damit müssen wir weiter arbeiten.

Jetzt kannst du die Eigenschaften von orthogonalen Matrizen nutzen um weiter zu kommen um zu zeigen, dass du in der Form die Luftwinkelmesser gezeigt hat herauszukommen.

Viele Grüße

terpetinzzz aktiv_icon

15:45 Uhr, 14.06.2022

Orthogonale Matrizen haben die Eigenschaft, dass ihre Determinante im Betrag 1 ist und wenn man sie mit ihrer transponierten Matrix multipliziert ergibt das die Einheitsmatrix.
Was ich nicht ganz verstehe wie man auf

sin, - sin

und

cos

leitet. Die

30

Grad sind klar

; \frac{π}{6}

JaBaa aktiv_icon

16:48 Uhr, 14.06.2022

Kennst du eine bestimmte Schreibweise für Inversen von 2x2-Matrizen ? In dieser Schreibweise steckt auch die Determinante drinnen.

JaBaa aktiv_icon

20:03 Uhr, 14.06.2022

Oder besser berechne mir mal die Inverse von

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

oder gib die Formel zur Berechnung an.

terpetinzzz aktiv_icon

13:58 Uhr, 15.06.2022

Bei

2 x 2 :

1/(ad-bc)

(\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

Wie hilft mir das aber weiter?

ledum aktiv_icon

19:20 Uhr, 15.06.2022

Hallo
ich glaube die einfacher Erklärung ist: die Spalten der Matrix ergeben die Bilder der Standardbasisvektoren,

{(1.0)}^{T}

und

{(0,1)}^{T}

damit kannst du sie direkt aus einer Skizze ablesen.
Gruß ledum

Kartoffelchipsman aktiv_icon

23:10 Uhr, 15.06.2022

Das Hochschul-Dogma kann man lecker in Skripts nachlesen.

Haptisch begreifen hilft viellecht

A \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = A \cdot (x \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}))

= x \cdot (A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})) + y \cdot (A \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}))

= x \cdot (\begin{matrix} cos (α) \\ sin (α) \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} - sin (α) \\ cos (α) \end{matrix})

mit Augenmerk auf die speziellen geometrischen

und termmechanischen Eigenheiten von

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

.

Im Anhang auch noch ein weiteres Schaubild zum "Drehtrick".

JaBaa aktiv_icon

00:45 Uhr, 16.06.2022

Puh jetzt haben schon so viele andere geschrieben. Ich hatte vll wieder etwas schwereres im Kopf als das offensichtliche. Aber du hast folgende Schreibweise schon beschrieben:

\frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) = {(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}^{- 1}

Sei nun

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

eine orthogonale Matrix. Dann gilt

{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}^{- 1} = {(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix})

Du weißt dass

det (A) = a \cdot d - b \cdot c = 1

oder

a \cdot d - b \cdot c = - 1

Sei nun

a \cdot d - b \cdot c = 1

. Dann gilt:

(\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix})

daraus folgt

a = d

und

b = - c

Also hat deine Matrix folgende Form:

(\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix})

Berechne die Determinante dann bekommst du:

a^{2} + b^{2} = 1

Damit hast du die gewünschte Darstellung durch den trigonometrischen Pythagoras.

Wenn du

det (A) = - 1,

dann bekommst du nicht alle Drehmatrizen sondern alle Spiegelugsmatrizen.
Nur dann zur Vollständigkeit was ich gedacht hatte.

Viele Grüße

terpetinzzz aktiv_icon

13:11 Uhr, 16.06.2022

Ich danke euch für die zahlreichen Erklärungen!

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