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Abbildungsmatrix bzgl. Basis aus Eigenvektoren

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Abbildungsmatrix, basis, Eigenvektor, Matrizenrechnung, Vektorraum

 
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An0nym

An0nym

15:46 Uhr, 14.04.2019

Antworten
Hallo!

Die Angabe des Bsp. ist im Bild zu sehen. Ich verstehe schon den Anfang nicht, wie schaut die lineare Abbildung aus, die jeden Vektor an der Ebene spiegelt?

Bei a) verstehe ich zwar die Begriffe, weiß aber auch nicht wie ich das rechnen soll...


Bei uns im Skript wird das ganze Thema in einem Absatz behandelt, gibt es dazu irgendwo Unterlagen/ hat da jemand was, wo das alles ausführlicher erklärt ist?

test

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

19:00 Uhr, 14.04.2019

Antworten
Hallo,

eigenvektoren sind doch Vektoren, die durch die Abbildung auf ein Vielfaches von sich abgebildet werden -Av=λv. Für welche Vektoren lassen sich bei einer Spiegelung die Bilder direkt - ohne Rechnung - angeben?

Gruß pwm
An0nym

An0nym

19:45 Uhr, 14.04.2019

Antworten
Bei den Einheitsvektoren, oder?
Antwort
maxsymca

maxsymca

19:52 Uhr, 14.04.2019

Antworten
Du unterstützt Deine Aussage "verstehe ich zwar die Begriffe" nicht unbedingt.
Deshalb ein Bild zur Unterstützung:


Window_2019-04-14_13-19-24
An0nym

An0nym

09:25 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Ja das ist mir schon klar, ich erkenne auch dass der Vektor n in deiner Grafik der Gespiegelte sein soll, aber mir hilft das trotzdem nicht weiter...
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

11:59 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Hallo,

kann es sein, dass Du nicht definieren kannst, was man unter eine Spiegelung an einer Ebene versteht?

Man spiegelt einen Vektor x, indem man ihn in eine Komponente x1 senkrecht zur Ebene und eine Komponente x2 parallel zur Ebene zerlegt. Das Spiegelbild ist dann x2-x1 (die Normalkompenente wird gespiegelt, die Parallelkomponente bleibt erhalten).

Damit nochmal die Frage: Kannst Du 3 Vektoren angeben, deren Spiegelbild man sofort kennt? Vgl. auch die Grafik von Macsyma.

Gruß pwm
Antwort
maxsymca

maxsymca

12:20 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Nein, n ist nicht gespiegelt.
Kannst Du aber gerne machen (für alle drei vielleicht) und nachdenken, wie das Ergebnis aussieht und was es bedeutet.

===> dann später ===>



Aha, die gezeichneten Vektoren sind Eigenvektoren.
Ist klar welche Eigenwerte eine Spiegelung an einer Ebene hat, was z.B. ein Eigenwert 1 bzw. -1 bedeutet?
An0nym

An0nym

18:32 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Achso, für mich schaut es so aus als sei n die Spiegelung von ev2 an der blauen Achse...


"Ist klar welche Eigenwerte eine Spiegelung an einer Ebene hat, was z.B. ein Eigenwert 1 bzw. -1 bedeutet?" - Nein, ist für mich nicht klar, werde ich mal im Skript nachschauen.



"Kannst Du 3 Vektoren angeben, deren Spiegelbild man sofort kennt?" Das Einzige was mir dazu einfallen würde sind Vektoren die normal auf die Ebene stehen, und Vektoren die in der Ebene liegen (weil da die Spiegelung nichts anrichtet sozusagen)
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

18:45 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Hallo,

"Vektoren die in der Ebene liegen (weil da die Spiegelung nichts anrichtet sozusagen)"

Das heißt, wenn S die Matrix bezüglich der Standardbasis ist und x ein Vektor in der Ebene, dann gilt Sx=1x.

Was gilt, wenn x senkrecht auf der Ebene steht: Sx=...

Gruß pwm
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

18:46 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Al nächstes musst Du konkret für die gegebene Ebene einen Normalenvektor finden und 2 linear unabhängige, die in der Ebene liegen. Welche wären das zum Beispiel?

Gruß pwm
An0nym

An0nym

09:55 Uhr, 17.04.2019

Antworten
Also z.B.
(0,0,1) und (1,0,0) für die zwei die in der x,z-Ebene liegen, und z.B. (0,1,0) für den orthogonalen?
Antwort
Bummerang

Bummerang

10:55 Uhr, 17.04.2019

Antworten
Hallo,

"Also z.B.

(0,0,1) und (1,0,0) für die zwei die in der x,z-Ebene liegen, ..."

Du sollst zwei unabhängige Vektoren finden, die in der Eben z=x liegen und nicht in der x-z-Ebene! Und am besten suchst Du gleich mal zwei, die zueinander orthogonal sind. Ich empfehle (1,0,z1) und (0,1,z2), deren Skalarprodukt ist z1z2 und vielleicht wird das ja Null bei geschickter Wahl von z1 bzw. z2. Oder kann man die gar nicht frei wählen? Sind die vielleicht gar fest vorgegeben? Z.B. durch die Ebenegleichung? Denke mal darüber nach. Einen dritten, zu beiden orthogonalen Vektor findest Du ganz einfach, wenn Du das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren errechnest oder das durch diese beiden Vektoren via Skalarprodukt implizierte homogene Gleichungssystem löst. Tipp: Nimm für die Basis den einen Vektor der Form (-1,0,z3).

Wenn Du das geschafft hast, dann ermittle von diesen drei Vektoren die jeweiligen Bildvektoren. Denke daran, es sind Eigenvektoren, die Bilder müssen die Form:

k1(1,0,z1);k2(0,1,z2) bzw. k3(-1,0,z3)

haben. Die Abbildungsmatrix bzgl. dieser Basis sieht dann der Einheitsmatrix verdammt ähnlich, nur dass auf der Hauptdiagonalen halt k1,k2 und k3 stehen, die Eigenwerte der Abbildung s.

Zum Schluss kannst Du die Abbildungsmatrix S von s errechnen:

(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(10z1)=s((10z1))

(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(01z2)=s((01z2))

(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(-10z3)=s((-10z3))

Das sind 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten, aber mit den vielen Nullen, wirst Du einige Lösungen schnell erkennen und die restlichen schnell errechnen können.
An0nym

An0nym

16:53 Uhr, 17.04.2019

Antworten
Danke für deinen Input.

Ich nehme mal an dass z1 und z2 durch z=x gegeben ist, also (1,0,1) und (0,1,0). Wenn ich jetzt das Kreuzprodukt der beiden bilde kommt (-1,0,1) raus.

Aber jetzt häng ich leider schon wieder :
War der Tipp mit der gewählten Basis für die Bildvektoren gemeint? Bzw wie soll ich mir jetzt den Bildvektor ausrechnen? Um mir den ausrechnen zu können, brauche ich doch genau die Abbildungsmatrix, da ja A*Vektor = Bild ist oder?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

21:28 Uhr, 17.04.2019

Antworten
Hallo
mit den 2 Vektoren in der Ebene, die auf sich selbst abgebildet werden und dem senkrechten Vektor, der auf sein negatives abgebildet wird hast du doch jetzt die gesuchte Basis und kannst die Matrix in der angeben, wenn du sie b1,b2,b3 nennst.
Gruß ledum
An0nym

An0nym

10:32 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Ja mein Problem ist nur, dass ich ja keine Matrix gegeben habe...
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

11:36 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Hallo,

die Bilder der 3 Vektoren ergeben sich nicht durch eine Berechnung, sondern aus dem Sachzusammenhang. Sie sind ja gerade so gewählt, dass klar ist, was ihre Bilder unter der Spiegelung sind. Das ist in den bisherigen Beiträgen schon mehrfach erklärt worden.

Gruß pwm
Antwort
Bummerang

Bummerang

12:53 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Hallo,

bezugnehmend auf meinen letzten Post ("Die Abbildungsmatrix bzgl. dieser Basis sieht dann der Einheitsmatrix verdammt ähnlich, nur dass auf der Hauptdiagonalen halt k1,k2 und k3 stehen, die Eigenwerte der Abbildung s."), frage ich Dich, wieso Du nicht auf

(10001000-1)

kommst oder wenn Du drauf gekommen bist, was Dir daran nicht gefällt?
Frage beantwortet
An0nym

An0nym

16:10 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Ich bin darauf gekommen, und beim Test würde ich das auch als Lösung hinschreiben, aber verstehen tu ich das Ganze irgendwie nicht. Ich werde mal versuchen, noch ein paar ähnliche Beispiele zu rechnen.

Vielen Dank für eure Geduld und eure Hilfe!