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Abbildungsmatrix bzgl. Basis aus Eigenvektoren

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Abbildungsmatrix, basis, Eigenvektor, Matrizenrechnung, Vektorraum

anonymous

15:46 Uhr, 14.04.2019

Hallo!

Die Angabe des Bsp. ist im Bild zu sehen. Ich verstehe schon den Anfang nicht, wie schaut die lineare Abbildung aus, die jeden Vektor an der Ebene spiegelt?

Bei

a)

verstehe ich zwar die Begriffe, weiß aber auch nicht wie ich das rechnen soll...

Bei uns im Skript wird das ganze Thema in einem Absatz behandelt, gibt es dazu irgendwo Unterlagen/ hat da jemand was, wo das alles ausführlicher erklärt ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

pwmeyer aktiv_icon

19:00 Uhr, 14.04.2019

Hallo,

eigenvektoren sind doch Vektoren, die durch die Abbildung auf ein Vielfaches von sich abgebildet werden

- A \cdot v = λ \cdot v

. Für welche Vektoren lassen sich bei einer Spiegelung die Bilder direkt - ohne Rechnung - angeben?

Gruß pwm

anonymous

19:45 Uhr, 14.04.2019

Bei den Einheitsvektoren, oder?

maxsymca

19:52 Uhr, 14.04.2019

Du unterstützt Deine Aussage "verstehe ich zwar die Begriffe" nicht unbedingt.
Deshalb ein Bild zur Unterstützung:

anonymous

09:25 Uhr, 15.04.2019

Ja das ist mir schon klar, ich erkenne auch dass der Vektor

n

in deiner Grafik der Gespiegelte sein soll, aber mir hilft das trotzdem nicht weiter...

pwmeyer aktiv_icon

11:59 Uhr, 15.04.2019

Hallo,

kann es sein, dass Du nicht definieren kannst, was man unter eine Spiegelung an einer Ebene versteht?

Man spiegelt einen Vektor

x,

indem man ihn in eine Komponente

x_{1}

senkrecht zur Ebene und eine Komponente

x_{2}

parallel zur Ebene zerlegt. Das Spiegelbild ist dann

x_{2} - x_{1}

(die Normalkompenente wird gespiegelt, die Parallelkomponente bleibt erhalten).

Damit nochmal die Frage: Kannst Du 3 Vektoren angeben, deren Spiegelbild man sofort kennt? Vgl. auch die Grafik von Macsyma.

Gruß pwm

maxsymca

12:20 Uhr, 15.04.2019

Nein, n ist nicht gespiegelt.
Kannst Du aber gerne machen (für alle drei vielleicht) und nachdenken, wie das Ergebnis aussieht und was es bedeutet.

===> dann später ===>

Aha, die gezeichneten Vektoren sind Eigenvektoren.
Ist klar welche Eigenwerte eine Spiegelung an einer Ebene hat, was z.B. ein Eigenwert 1 bzw. -1 bedeutet?

anonymous

18:32 Uhr, 15.04.2019

Achso, für mich schaut es so aus als sei

n

die Spiegelung von ev2 an der blauen Achse...

"Ist klar welche Eigenwerte eine Spiegelung an einer Ebene hat, was

z . B

. ein Eigenwert 1 bzw.

- 1

bedeutet?" - Nein, ist für mich nicht klar, werde ich mal im Skript nachschauen.

"Kannst Du 3 Vektoren angeben, deren Spiegelbild man sofort kennt?" Das Einzige was mir dazu einfallen würde sind Vektoren die normal auf die Ebene stehen, und Vektoren die in der Ebene liegen (weil da die Spiegelung nichts anrichtet sozusagen)

pwmeyer aktiv_icon

18:45 Uhr, 15.04.2019

Hallo,

"Vektoren die in der Ebene liegen (weil da die Spiegelung nichts anrichtet sozusagen)"

Das heißt, wenn

S

die Matrix bezüglich der Standardbasis ist und

x

ein Vektor in der Ebene, dann gilt

S \cdot x = 1 \cdot x

.

Was gilt, wenn

x

senkrecht auf der Ebene steht:

S \cdot x = . .

.

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

18:46 Uhr, 15.04.2019

Al nächstes musst Du konkret für die gegebene Ebene einen Normalenvektor finden und 2 linear unabhängige, die in der Ebene liegen. Welche wären das zum Beispiel?

Gruß pwm

anonymous

09:55 Uhr, 17.04.2019

Also

z . B

(0,0,1)

und

(1,0,0)

für die zwei die in der

x

,z-Ebene liegen, und

z . B

(0,1,0)

für den orthogonalen?

Bummerang

10:55 Uhr, 17.04.2019

Hallo,

"Also

z . B

(0,0,1)

und

(1,0,0)

für die zwei die in der

x

,z-Ebene liegen, ..."

Du sollst zwei unabhängige Vektoren finden, die in der Eben

z = x

liegen und nicht in der x-z-Ebene! Und am besten suchst Du gleich mal zwei, die zueinander orthogonal sind. Ich empfehle

(1, 0, z_{1})

und

(0, 1, z_{2}),

deren Skalarprodukt ist

z_{1} \cdot z_{2}

und vielleicht wird das ja Null bei geschickter Wahl von

z_{1}

bzw.

z_{2}

. Oder kann man die gar nicht frei wählen? Sind die vielleicht gar fest vorgegeben?

Z . B

. durch die Ebenegleichung? Denke mal darüber nach. Einen dritten, zu beiden orthogonalen Vektor findest Du ganz einfach, wenn Du das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren errechnest oder das durch diese beiden Vektoren via Skalarprodukt implizierte homogene Gleichungssystem löst. Tipp: Nimm für die Basis den einen Vektor der Form

(- 1, 0, z_{3})

.

Wenn Du das geschafft hast, dann ermittle von diesen drei Vektoren die jeweiligen Bildvektoren. Denke daran, es sind Eigenvektoren, die Bilder müssen die Form:

k_{1} \cdot (1, 0, z_{1}); k_{2} \cdot (0, 1, z_{2})

bzw.

k_{3} \cdot (- 1, 0, z_{3})

haben. Die Abbildungsmatrix bzgl. dieser Basis sieht dann der Einheitsmatrix verdammt ähnlich, nur dass auf der Hauptdiagonalen halt

k_{1}, k_{2}

und

k_{3}

stehen, die Eigenwerte der Abbildung

s

.

Zum Schluss kannst Du die Abbildungsmatrix

S

von

s

errechnen:

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ z_{1} \end{matrix}) = s ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ z_{1} \end{matrix}))

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ z_{2} \end{matrix}) = s ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ z_{2} \end{matrix}))

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ z_{3} \end{matrix}) = s ((\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ z_{3} \end{matrix}))

Das sind 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten, aber mit den vielen Nullen, wirst Du einige Lösungen schnell erkennen und die restlichen schnell errechnen können.

anonymous

16:53 Uhr, 17.04.2019

Danke für deinen Input.

Ich nehme mal an dass

z 1

und

z 2

durch

z = x

gegeben ist, also

(1,0,1)

und

(0,1,0)

. Wenn ich jetzt das Kreuzprodukt der beiden bilde kommt

(- 1,0,1)

raus.

Aber jetzt häng ich leider schon wieder

\frac{:}{}

War der Tipp mit der gewählten Basis für die Bildvektoren gemeint? Bzw wie soll ich mir jetzt den Bildvektor ausrechnen? Um mir den ausrechnen zu können, brauche ich doch genau die Abbildungsmatrix, da ja A*Vektor = Bild ist oder?

ledum aktiv_icon

21:28 Uhr, 17.04.2019

Hallo
mit den 2 Vektoren in der Ebene, die auf sich selbst abgebildet werden und dem senkrechten Vektor, der auf sein negatives abgebildet wird hast du doch jetzt die gesuchte Basis und kannst die Matrix in der angeben, wenn du sie

b 1, b 2, b 3

nennst.
Gruß ledum

anonymous

10:32 Uhr, 18.04.2019

Ja mein Problem ist nur, dass ich ja keine Matrix gegeben habe...

pwmeyer aktiv_icon

11:36 Uhr, 18.04.2019

Hallo,

die Bilder der 3 Vektoren ergeben sich nicht durch eine Berechnung, sondern aus dem Sachzusammenhang. Sie sind ja gerade so gewählt, dass klar ist, was ihre Bilder unter der Spiegelung sind. Das ist in den bisherigen Beiträgen schon mehrfach erklärt worden.

Gruß pwm

Bummerang

12:53 Uhr, 18.04.2019

Hallo,

bezugnehmend auf meinen letzten Post ("Die Abbildungsmatrix bzgl. dieser Basis sieht dann der Einheitsmatrix verdammt ähnlich, nur dass auf der Hauptdiagonalen halt

k 1, k 2

und

k 3

stehen, die Eigenwerte der Abbildung

s

."), frage ich Dich, wieso Du nicht auf

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

kommst oder wenn Du drauf gekommen bist, was Dir daran nicht gefällt?

anonymous

16:10 Uhr, 18.04.2019

Ich bin darauf gekommen, und beim Test würde ich das auch als Lösung hinschreiben, aber verstehen tu ich das Ganze irgendwie nicht. Ich werde mal versuchen, noch ein paar ähnliche Beispiele zu rechnen.

Vielen Dank für eure Geduld und eure Hilfe!

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