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Abbildungsmatrix bzgl. Standardbasen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

xx22xx33 aktiv_icon

18:41 Uhr, 14.02.2023

Sei

f :

IR^2

\to

IR^3 eine lineare Abbildung mit:

f (1,0) = (3,2,0)

und

f (1,2) = (3,4,0)

.

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix bzgl. Standardbasen und berechnen Sie eine Basis.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:26 Uhr, 14.02.2023

Hallo,

sei mal

A := (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})

, desweiteren die Standardbasisvektoren

e_{1} := (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

e_{2} := (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

und

e_{3} := (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

.

Berechne mal

A e_{i}

für

i \in {1; 2; 3}

.

Welche Schlüsse lassen sich daraus bzgl. deiner Aufgabe ziehen?

Mfg Michael

xx22xx33 aktiv_icon

19:36 Uhr, 14.02.2023

Naja also

f (e 1), f (e 2), f (e 3)

bzw.

f (1,0,0), f (0,1,0), f (0,0,1)

aber ich verstehe es nicht weil wir

f

nicht genau wissen und nur 2 Vektoren gegeben sind.

michaL aktiv_icon

19:51 Uhr, 14.02.2023

Hallo,

bitte sprich aus, was man aus der Multiplikation der Vektoren mit der Matrix herauslesen kann.
Dann machen wir weiter!

(Wir gehen die Sache erst einmal von der anderen Seite an. Diese Seite sollte eigentlich bekannt sein. Daher klopfen wir das erstmal ab.)

Mfg Michael

xx22xx33 aktiv_icon

20:02 Uhr, 14.02.2023

Naja, es ergibt die Koeffizienten der Abbildungsmatrix an.

michaL aktiv_icon

20:10 Uhr, 14.02.2023

Hallo,

äh, was sind "die Koeffizienten der Abbildungsmatrix"?

Sorry, das ist mir nicht genau genug. Das kann alles bedeuten, oder eben auch gar nichts.

Gehen wir also noch mal einen Schritt zurück.

Gib das Ergebnis der Multiplikation

A \cdot e_{1}

an.

Mfg Michael

xx22xx33 aktiv_icon

20:22 Uhr, 14.02.2023

A \cdot e 1 = (1,4,7), A \cdot e 2 = (2,5,8)

und

A \cdot e 3 = (3,6,9)

michaL aktiv_icon

21:01 Uhr, 14.02.2023

Hallo,

und, fällt dir an

(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 7 \end{array})

was auf?

Mfg Michael

xx22xx33 aktiv_icon

21:22 Uhr, 14.02.2023

Es wird immer nur der jeweilige Spaltenvektor abgebildet.

Also werden die Vektoren einfach nur abgebildet

michaL aktiv_icon

21:31 Uhr, 14.02.2023

Hallo,

erkennst du nun, wie man die Einträge der Matrix erhält?
Du brauchst die Bilder der Standardbasis. Diese bilden in entsprechender Reihenfolge die Spalten der gesuchten Matrix.

Mfg Michael

xx22xx33 aktiv_icon

21:54 Uhr, 14.02.2023

Also das Grundprinzip habe ich verstanden, aber ich verstehe das Beispiel nicht

michaL aktiv_icon

22:12 Uhr, 14.02.2023

Hallo,

nun, dir wird nichts anderes übrig bleiben, als die Bilder der Standardbasisvektoren zu berechnen.
Diese sind dann die Spalten der gesuchten Matrix.

Du hast Glück, das Bild eines Standardbasisvektors ist direkt angegeben:

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) \mapsto (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array})

Bitte schreibe mir jetzt nicht, dass du das Bild von

(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array})

nciht ermitteln kannst.
Bedenke, dass

f

ja linear sein soll.

Mfg Michael

xx22xx33 aktiv_icon

22:49 Uhr, 14.02.2023

f

linear ist, können wir das Bild von

(0,1)

einfach aus dem Bild von

(1,2)

ableiten:

f (1,2) = f (1,0) + f (0,2) = (3,2,0) + 2 \cdot f (0,1)

Daraus folgt:

f (0,1) = \frac{f (1,2) - f (1,0)}{2} = (0,1,0)

Daher sind die Bilder der Basisvektoren von IR^2 unter

f :

f (1,0) = (3,2,0)

und

f (0,1) = (0,1,0)

ledum aktiv_icon

00:01 Uhr, 16.02.2023

Hallo
ja und damit kennst du die 2 Spalten der gesuchten Matrix.
ledum

xx22xx33 aktiv_icon

23:31 Uhr, 19.02.2023

Ich will nur sichergehen. Wir hatten noch die Fragen:

- Ist

f

eindeutig bestimmt?
—> Ziel: Zeigen das es eine Basis ist.
Ja, weil linear unabhängig und Erzeugendensystem, weil es minimales ESZ ist mit 2 Vektoren im 3 dimensionalen Raum

- Berechnen Sie Basis
Bild von

f =

lineare Hülle, also Im

f =

Lin

{(1,0), (2,1)}

. Somit

(1,0), (2,1)

weil linear unabhängig

- Bestimmen Sie Kern, Bild und Dimension von Kern
Kern = Nullvektor, also hier Ker

f = {(0,0,0)}

also

dim V = dim

Kern

+ dim

Bild, also

3 = dim

Kern

+ 2

. Somit ist dim Kern

= 1

.
Bild bestimmen: Im

f = {(1,0), (2,1)}

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