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Abbildungsvorschrift, Bild und Kern bestimmen

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Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Vektorraum

babara aktiv_icon

19:33 Uhr, 12.08.2016

Von einer linearen Abbildung

F : R 4

rarr

R 3

kennt man die Bilder von vier Vektoren der Definitionsmenge

R 4 : F (1,2, - 1,2) = F (2,1, - 2,1) = (0, - 3,6); F (0,1, - 1,2) = (0, - 4, - 8); F (- 2,1,0,1) = (- 2, - 3, - 4)

.
Bestimme

a)

die Abbildungsvorschrift

F (x 1, x 2, x 3, x 4)

sowie

b)

bild

F

und

c)

ker

F

.

Wer kann mir einen Hinweis geben, wie ich anfangen kann?

Barbara

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

21:37 Uhr, 12.08.2016

Hallo
bestimme die 4 Bilder der Standardbasisvektoren, indem du sie als Linearkombination der gegebenen vektoren schreibst. die Bilder sind dann die Spalten deiner Abbildungsmatrix.
Gruss ledum

oculus aktiv_icon

22:46 Uhr, 12.08.2016

Hallo ledum,

dein Vorschlag bedeutet doch ziemliche Rechnerei.
Da die vier gegebenen Vektoren linear unabhängig sind, würde ich sie als Spaltenvektoren

v 1, v 2, v 3, v 4

einer 4,4-Matrix

M

nutzen und ebenso die Bildvektoren

v 1', v 2', v 3' v 4'

entsprechend als Spaltenvektoren einer 3,4-Matrix

M'

.

Dann gilt für die gesuchte Abbíldungsmatrix

A :

A \cdot M = M' \Rightarrow A = M' \cdot M^{- 1}

(fertig).

Barbara kann ja beide Ansätze mal ausprobieren.
Gruß von
oculus

babara aktiv_icon

13:17 Uhr, 13.08.2016

Danke für die Hinweise! Ich habe es doch mit einer eigenen Lösung versucht und würde mich freuen, wenn ihr die mal überprüfen würdet. In der Zwischenzeit versuche ich mich einmal an euren Vorschlägen.

Da die Vektoren

v 1 := [1,2, - 1,2], v 2 := [2,1, - 2,1], v 3 := [0,1, - 1,2]

und

v 4 := [- 2,1,0,1)

lin. unabhängig sind, bilden sie eine Basis von

R 4

. Da jeder Vektor

x := [x 1, x 2, x 3, x 4]

in

R 4

sich darstellen lassen muss als Linearkomposition der gegebenen Basisvektoren, gilt

[x 1, x 2, x 3, x 4) = a \cdot [1,2, - 1,2) + b \cdot [2,1, - 2,1] + c \cdot [0,1, - 1,2] + d \cdot [- 2,1,0,1]

Weiter mit CAS:

a = \frac{1}{3} \cdot (x 1 + 2 x 2 + 2 x 3), b = - \frac{1}{6} \cdot (x 1 - x 2 + 5 x 3 + 3 x 4), c = - x 2 + x 4, d = - \frac{1}{2} \cdot (x 1 - x 2 + x 3 + x 4)

F [x 1, x 2, x 3, x 4) = F (a \cdot [1,2, - 1,2) + b \cdot [2,1, - 2,1] + c \cdot [0,1, - 1,2] + d \cdot [- 2,1,0,1])



= a \cdot F [1,2, - 1,2) + b \cdot F [2,1, - 2,1) + c \cdot F [0,1, - 1,2) + d \cdot F [- 2,1,0,1)

= (s.oben)

\frac{1}{3} \cdot (x 1 + 2 x 2 + 2 x 3) \cdot [0, - 3,6] - \frac{1}{6} \cdot (x 1 - x 2 + 5 x 3 + 3 x 4) \cdot [0, - 3,6] + (- x 2 + x 4) \cdot [0, - 4, - 8] - \frac{1}{2} \cdot (x 1 - x 2 + x 3 + x 4) \cdot [- 2, - 3, - 4)

\Rightarrow F [x 1, x 2, x 3, x 4) = [x 1 - x 2 + x 4 + x 4, x 1 + 2 x 3 - x 4, 3 x 1 + 11 x 2 + x 3 - 9 x 4]

(Lösung??)

Barbara

ledum aktiv_icon

15:48 Uhr, 13.08.2016

Hallo
wenn es bei euch reicht,

F

für einen allgemeinen Vektor anzugeben ist dein Vorgehen richtig. meist wollen die Aufgabensteller allerdings die Abbildungsmatrix.
Du kannst jetzt aber auch die Abbildungsmatrix angeben wenn du

x 1 = 1, x 2 = x 3 = x 4 = 0

für den ersten Basisvektor nimmst, entsprechend für die 3 anderen und damit die Spalten der Abbildungsmatrix hast. dann ist auch Bild und Kern leichter zu bestimmen.
Ich denke , dass

M^{- 1}

zu bestimmen, wie oculus vorschlägt ist nicht schneller du musst immer ein 4 mal 4 GS lösen, was mit CAS natürlich schnell geht.
Gruß ledum

babara aktiv_icon

00:01 Uhr, 14.08.2016

Das verstehe ich nicht, ledum, denn steckt in meiner Lösung nicht die Abbildungsmatrix implizite drin? Ich hatte doch - nun vertikal geschrieben -

F (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \\ x 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x 1 - x 2 + x 3 + x 4 \\ x 1 + 2 x 3 - x 4 \\ 3 x 1 + 11 x 2 + x 3 - 9 x 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & - 4 \\ 3 & 11 & 1 & - 9 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \\ x 4 \end{matrix})

.

Barbara

Und jetzt habe ich zur Kontrolle mal den Vorschlag von oculus genutzt

(s

. unten).
Es ist amat:=

M,

bmat:=

M'

.

Meine Rechnung scheint zu stimmen.

ledum aktiv_icon

19:37 Uhr, 14.08.2016

Hallo
Ja du hast alles richtig, so hatte ich es gemeint, und vielleicht für dich schlecht formuliert.
Gruß ledum

babara aktiv_icon

17:40 Uhr, 15.08.2016

Hallo,
ich schließe diesen thread und werde die Fortsetzung der Aufgabe als "Neue Frage" zur Diskussion stellen.

Danke fürs Mitmachen.

Barbara

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