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Abelsummation

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Tags: Folgen, Reihen

Claudia-88 aktiv_icon

11:40 Uhr, 05.01.2010

hallo,

ich schon wieder :-D)
Kann mir vielleicht bitte jemand erklären, was man unter einer Abelsummation versteht? Irgendwie spuckt selbst google da nicht so viel Hilfreiches aus.
Am Besten gleich an einem Beispiel (und da wir gerade eigentlich Potenzreihen behandeln, wie wäre es da gleich mit "Summenzeichen k=o bis unendlich i^k" ?).

Libe Grüße, Claudia

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

15:36 Uhr, 05.01.2010

Ist möglicherweise das gemeint, was ich bei Wikipedia immer noch nicht bis zur Artikelreife umgeschreien habe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Hagman/Summation#Abelsche_Summation
?

Claudia-88 aktiv_icon

20:01 Uhr, 05.01.2010

Ich denke, das könnte gemeint sein. Richtig verstehen tu ich es aber noch nicht...
kannst du da nachhelfen sowie an einem Beispiel erklären?!

hagman aktiv_icon

14:10 Uhr, 09.01.2010

Wie gesagt, es könnte stattdessen auch die Abelsche *partielle* Summation gemeint sein, aber ok, hier ein Beispiel, das vielleicht in die richtige Richtung geht:
Nehmen wir an, wir wollen

S = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n} = - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \pm . .

.
berechnen. Setze

a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}

und betrachte

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

.
(Diese Potenzreihe hat Konvergenzradius 1 und konvergiert daher zumindest für

| x | < 1)

Dann ist

f

die Potenzreihe für eine Logarithmusfunktion, was man wie folgt sieht:
Wenn man das formal ableitet (was für

| x | < 1

erlaubt ist!), ergibt sich

f' (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} n x^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n + 1} \cdot (n + 1) x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} x^{n} = - \sum_{n = 0}^{\infty} {(- x)}^{n}

.
Letzteres ist einfach eine geometrische Reihe, also gilt (wiederum für

| x | < 1)

f' (x) = - \frac{1}{1 + x}

Wir schließen daraus

f (x) = - ln (1 + x) + C

und wegen

f (0) = 0

ist

C = 0,

also

f (x) = - ln (1 + x),

insb.

S = lim_{x \to 1} f (x) = - ln (2)

.

-

Interessant ist, dass die Methode manchmal auch dann einen Wert ergibt, wenn die "richtige" Summation keinen Grenzwert ergibt. Inwieweit ein auf diese Weise gefundener "Pseudo"-Summenwert sinnvoll ist, kommt stark auf die Anwendung an.
Direkt auch hierzu ein Beispiel:
Was ist

T := \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n}

?
Nun, die Partialsummen sind abwechselnd 1 und

0,

also gibt es definitiv keinen Grenzwert,

d . h

T

hat eigentlich keinen Wert. Mit der Abelsummation kann man (mit der gebotenen Vorsicht) trotzdem einen Wert für

T

ausrechnen:
Betrachte

g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{n}

. Wie oben findet man

g (x) = \frac{1}{1 + x},

also kann man

lim_{x \to 1} g (x)

bestimmen, wobei einfach

\frac{1}{2}

herauskommt und setzt dann einfach

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} = \frac{1}{2}

.
Wie gesagt: die Reihe ist *nicht* konvergent und hat den Wert

\frac{1}{2}

"eigentlich" nicht. Aber in zahlreichen Anwendungen kann man so tun, als ob die Reihe doch konvergieren würde und zwar gegen

\frac{1}{2}

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