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Abgeschlossenheit
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Abgeschlossenheit, Gruppen, Untergruppe
 
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Hallo;-) Ich habe eine ganz allgemeine Frage. Für Gruppen bzw. Untergruppen und viele andere algebraische Strukturen ist es ja immer wichtig, die Abgeschlossenheit zu beweisen. Das ist bei non-abstrakten Mengen wie gerade Zahlen nicht schwer. Allerdings komm ich gedanklich nicht weiter, wenn es um abstrakte Mengen geht. Woher soll ich wissen,dass das neue Element in der Menge ist? Oft kann man das ja an der gleichen Form erkennen,aber was wenn nicht. Ein Beispiel: abelsche Gruppe, Untergruppen von G. Nun ist zu zeigen, ob A geschnitten Untergruppe ist. Neutrales und Inverses kann man ja sehr schnell abhacken. Aber wie sieht das hier mit der Abgeschlossenheit aus? glg |
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Hi, nun, klar, das ist immer eine kleine Kunst und es gibt keinen Lösungsweg, der immer funktioniert. Deswegen denkt man am besten gar nicht so lange nach, sondern schreibt erst einmal auf, was gilt. Seien also , dann gilt: und . Das ist erst einmal klar. Was weißt du nun? und sind Untergruppen (das ist hier sehr wichtig), welche Eigenschaft erfüllen diese Mengen dann? Gruß Sina |
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hey sina, vielen lieben dank für deine antwort!auch wenn meine jetzt sehr spät kommt.... du hast mir sehr geholfen. LSG: Wegen A und Untergruppen sind A und abgeschlossen. Demnach sind auch element A und element B. Folglich ist element A geschnitten B. |
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jetzt hab ich aber wieder ne frage...wie ist das wenn wir von der vereinigung der gruppen A und sprechen?? ich hab da mal drei Fälle unterschieden: Seien element A vereinigt Dann element A oder element dieser fall ist klar, dann wäre auch element A vereinigt element A und element Was jetzt? wenn ich die beiden addiere sind die dann immer noch in A vereinigt B?? analog zu nur andersrum |
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Im allgemeinen ist keine Untergruppe. Wenn weder noch dann kann man ein und ein finden. Setze (oder im allgemeineren Fall nicht-abelscher Gruppen). Wäre so auch Widerspruch. Wäre so auch Widerspruch. Also gilt . - Hier ist das allgemeine Prinzip für "abstrakt" definierte Untergruppen vielleicht klar geworden: Wenn dadurch definiert ist, dass genau dann, wenn eine Eigenschaft gilt, dann muss man halt einen Satz beweisen, dass aus und stets folgt. Beispiel: Sei die Menge derjenigen ganzen Zahlen, die als Summe zweier Quadrate geschrieben werden können. Zeige dass multiplikativ agbeschlossen ist (allerdings ist keine Gruppe). Man geht also von aus und will zeigen. Dann gibt es also mit . Ist es möglich, hieraus ganze Zahlen zu finden, so dass gilt? Das gilt es zu zeigen, wenn man auf Abgeschlossenheit prüfen will. Und das ist in diesem Fall ein wenig tricky und hat praktisch überhaupt nichts mit der multiplikativen Struktur in zu tun. (Tipp: Betrachte eher die Multiplikation in mit den Zahlen und Somit dürfte klar sein, dass es wirklich kein "allgemeingültiges" Rezept gibt. |
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Ok, also du hast das Problem schon selber erkannt. Im Allgemeinen ist es gar nicht sinnvoll von der Vereinigung zweier Gruppen zu sprechen, da 2 Gruppen verschiedene Verknüpfungen tragen und somit keine sinnvolle Verknüpfung zwischen Elementen dieser Gruppe erklärt sind. Du kannst höchstens sagen, dass wenn eine Gruppe und Untergruppen sind, was dann mit ist (jetzt sind Verknüpfungen erklärt). Die Existenz vom neutralen Element und Inversen ist klar. Das Problem ist die Abgeschlossenheit. Wenn abgeschlossen ist, dann ist für also (die anderen Fälle sind trivial), also oder . Ist , so ist auch und somit . Analog erhält man im anderen Fall . Das macht nur Sinn, wenn oder ist. |
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