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Abgeschlossenheit, Kompaktheit, Metrischer Raum

Schüler

Tags: Abgeschlossenheit, kompaktheit, metrischer Raum

Trallalla aktiv_icon

15:18 Uhr, 06.05.2013

Hi,
leider verwirrt mich Analysis nach wie vor. Diesmal lautet die Aufgabe:

13

. Sei

K := {x

∈

R^{2} : {| x |}_{2} = 1},

wobei

| |_{2}

die euklidische Norm ist und

d 2

die dadurch
induzierte Metrik. Weiterhin sei

d

die französische Eisenbahnmetrik auf

R^{2}

aus Aufgabe 2.

(a)

Zeigen Sie, dass die Menge in

(R^{2}, | |_{2})

und in

(R^{2}, d)

abgeschlossen ist.

(b)

Zeigen Sie, dass

(K, d 2)

kompakt, aber

(K, d)

nicht kompakt ist.

Die französische Eisenbahnmetrik wurde wie folgt definiert:

(x, y) \to

{| x - y |}_{2},

es existiert

(t_{1}, t_{2})

∈

R^{2}

ohne

{(0, 0)} : 0 = t_{1} x + t_{2} y,

{| x |}_{2} + {| y |}_{2},

sonst

Jetzt steht in meinem Klugen Ordner, dass eine Menge abgeschlossen ist, wenn das Komplement offen ist. Also wollte ich zu

a)

zeigen, dass die Menge

M

ohne

K := {x \in R^{2} : | x | \neq 1}

offen ist

Das hab ich gemacht, indem ich mir Kugeln gesucht habe.

1. Fall:

| x | < 1, | y | \neq 1

B (x, r) = {y \in M

ohne

K : | x - y | \leq | x | + | y | <

1´+|y|

}

damit hab ich also eine offene Kugel gefunden. Fur

| x | > 1

hab ich fast genauso gemacht, nur dass mein

r = | x | + | y | - 1

ist

und weil die Vereinigung offener Mengen offen ist, ist das gesamte Komplement offen.

Ich bin mit meinem Ergebnis aber recht unzufrieden, den ich bin mir sicher, dass da etwas nicht stimmt, vielleicht ist es sogar kompletter Blödsinn, dann bitte ich um einen netten Hinweis.

Zur

b)

Da hab ich eine nette Bemerkung in meinem Ordner gefunden, nämlich: Eine Teilmenge

B

eines normierten Raumes

(X, | |)

heißt beschränkt, wenn es ein

R > 0

gibt, so dass für alle

x \in B : | x | < R

aber trifft das nicht sowohl auf die Eisenbahnmetrik als auch auf die euklidische zu? Ist der Satz falsch? Denke ich falsch?
Irgendwie verwirren mich die ganzen Räume.

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