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Abgeschlossenheit eines Polarkegels

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Mengentheoretische Topologie

Tags: Abgeschlossenheit, Algebraische Topologie, Kegel, Mengenlehre, Mengentheoretische Topologie

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21:54 Uhr, 26.12.2019

Ich will beweisen, dass ein Polarkegel abgeschlossen ist.
Ein Kegel ist definiert als die Menge

K \subseteq ℝ^{n}

, wobei

\forall λ > 0, \forall x \in K

gilt

λ \cdot x \in K

.
Ein Polarkegel

K^{\circ}

ist definiert als

K^{\circ} := {w \in ℝ^{n} ∣ w^{T} \cdot d \leq 0, \forall d \in K} .

Nun soll bewiesen werden, dass

K^{\circ}

abgeschlossen ist.
In der Musterlösung ist gegeben:
Sei

w_{i}, i \in ℕ

eine Folge in

K^{\circ}

mit Grenzwert

w

, d.h. es gilt

w_{i}^{T} d \leq 0

für alle

i \in ℕ

und auch

l i m_{i \to \infty} w_{i}^{T} d = w^{T} d \leq 0

. Also ist

K^{\circ}

abgeschlossen.
Ich verstehe nicht wie man in diesem Satz bewiesen haben soll, dass für den Grenzwert

w

gilt, dass

w^{T} d \leq 0

. Wieso kann nicht passieren, dass für alle

i \in ℕ, w_{i}^{T} d \leq 0

, aber für den Grenzwert

w

gilt,

w^{T} d > 0

? Ich verstehe nicht, wie das in dem einsätzigen Satz garantiert wird.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels

pleindespoir aktiv_icon

21:58 Uhr, 26.12.2019

"Ich will beweisen, dass ein Polarkegel abgeschlossen ist. "
Das brauchst Du nicht zu beweisen - der friert doch von allein zu ;-)

ermanus aktiv_icon

12:11 Uhr, 28.12.2019

Hallo,
du kannst

K^{o}

schreiben als

⋂_{d \in K} K_{d}^{o}

mit

K_{d}^{o} := {w \in ℝ^{n} ∣ w^{T} \cdot d \leq 0}

.
Zeige, dass die Mengen

K_{d}^{o}

als Urbilder abgeschlossener Mengen unter
stetigen Abbildungen aufgefasst werden können.
Zumindest wäre das meine Beweismethode gewesen ...
Zu deiner Musterlösung:
die

a_{i} := w_{i} \cdot d

bilden eine Folge reeller Zahlen

a_{i} \leq 0

.
Wenn diese Folge konvergiert, dann muss für ihren Limes ebenfalls

lim a_{i} \leq lim 0 = 0

gelten.
Die Konvergenz der Folge ergibt sich aus der Stetigkeit der Matrizenmultiplikation.
Gruß ermanus

abakus

12:33 Uhr, 28.12.2019

www.mathelounge.de/683525/abgeschlossenheit-von-polarkegel-beweisen

ermanus aktiv_icon

12:44 Uhr, 28.12.2019

Aha! In mathelounge bereits beantwortet :(
Dennoch hier die Art, wie ich es bewiesen hätte:

φ_{d} : ℝ^{n} \to ℝ, w \mapsto w^{T} \cdot d

ist
offenbar stetig (eine stetige Linearform) und es gilt

K_{d}^{o} = φ_{d}^{- 1} ((- \infty, 0])

MathStudent aktiv_icon

22:43 Uhr, 29.12.2019

Ja, ich hatte die Frage hier gestellt, aber in den ersten 48 Stunden habe ich nur diese verfehlte Antwort von @pleindespoir bekommen. Deshalb habe ich nach einem anderen Forum gesucht und Mathelounge gefunden.
Aber danke an @abakus für die Antwort. Mir ging es in meiner Frage darum, zu verstehen, wie man Abgeschlossenheit einer Menge beweist, und das wollte ich anhand dieses Beispiel tun. Wäre die folgende Beweisführung korrekt:
Für alle Elemente der Menge

w \in K^{\circ}

gilt:

w^{T} \cdot d \leq 0, \forall d \in K

.
Ich dachte, dass man die Abschlossenheit von

K^{\circ}

beweist, indem man zeigt, dass der Rand von

K^{\circ}

in der Menge liegt.
Dafür würde ich beweisen, dass bei jeder Folge

(w_{i})

, wo die Folgenglieder

w_{i}

K^{\circ}

liegen, auch der Grenzwert

w

K^{\circ}

liegt. Da für alle Folgenglieder gelten muss:

w_{i}^{T} \cdot d \leq 0

muss auch für den Grenzwert w gelten,

w^{T} \cdot d \leq 0

. Sollte das nicht der Fall sein, also

w^{T} > 0

, dann muss es ein Kreis

B_{ε} (w)

geben, wo auch jedes

w_{i} \in B_{ε} (w)

gilt

w_{i}^{T} \cdot d > 0

, was dann mit der Aussage

w_{i}^{T} \cdot d \leq 0

in Widerspruch liegt.
Ist dieser Beweis korrekt?

ermanus aktiv_icon

23:05 Uhr, 29.12.2019

Hallo,
ja, so kannst du argumentieren, musst aber bei deiner Aussage
"Da für alle Folgenglieder gelten muss:

w_{i}^{T} \cdot d \leq 0

muss auch für den Grenzwert

w

gelten,

w^{T} \cdot d \leq 0 "

zumindest anmerken, dass dies aus der Stetigkeit der Abbildung

w \mapsto w^{T} \cdot d

folgt.
Gruß ermanus

MathStudent aktiv_icon

12:54 Uhr, 30.12.2019

Jetzt ist es echt klar geworden. Danke besonders für den Hinweis auf die Stetigkeit.

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