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Abgeschlossenheit eines speziellen Körpers zeigen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Abgeschlossenheit, Körper, Nachweis

UL-2014

22:12 Uhr, 31.10.2014

Hallo!

Ich hoffe, es kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen (Abgabe kommenden Mittwoch):

Zu zeigen ist, dass

K := {a + b \sqrt{2} : a, b \in ℚ}

ein Körper bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation reeller Zahlen ist.

Damit ist, soweit klar, nachzuweisen, dass

1 .)

Abgeschlossenheit bzgl. der Rechenoperationen besteht,

2 .) (K, +)

sowie

3 .) (K \ {0}, \cdot)

abelsche Gruppen sind und

4 .)

Distributivität gilt.

Mein Prof hat noch als Hinweis gegeben, man solle zunächst nachweisen, dass jede Zahl

x \in K

eine eindeutige Darstellung der Form

x = a + b \sqrt{2}

mit

a, b \in ℚ

hat.

Ich habe nun das Problem, dass ich nicht weiß, wie

K

abgeschlossen sein kann. Wenn ich zu einem

x \in K

der obigen Form

z . B

\sqrt{3}

addiere oder damit multipliziere, bin ich doch nicht mehr in

K,

oder?
Wo ist mein Denkfehler?

Meine Überlegungen bisher:

Sei

x = a 1 + b 1 \sqrt{2}

und

y = a 2 + b 2 \sqrt{2}

. Annahme:

x = y

mit

x, y \in K

und

a, b \in ℚ

. Dann ist

x = y

genau dann eine wahre Aussage, wenn

a 1 = a 2

und

b 1 = b 2

. Daher ist

x = a + b \sqrt{2}

eindeutig bestimmt.

Assoziativität und Kommutatitvität gelten wg. Gültigkeit der Addition und Multiplikation in

ℚ

und in

ℝ

. Gleiches gilt auch für die Distributivität.

Neutrale Elemente:
In

(K, +)

muss gelten

e + x = x \forall x \in K

mit

x = a + b \sqrt{2} \Rightarrow e = 0

(K \ {0}, \cdot)

ist

e \cdot x = x \Rightarrow e = 1

Inverse Elemente:
In

(K, +)

muss gelten:

(a + b \sqrt{2}) + y = 0 \Rightarrow y = - a - b \sqrt{2}

(K \ {0}, \cdot)

ist

(a + b \sqrt{2}) \cdot y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{a + b \sqrt{2}}

mit

a \neq - b \sqrt{2}

Wäre das so weit richtig?

Danke schon im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

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22:44 Uhr, 31.10.2014

"Wo ist mein Denkfehler?"

\sqrt{3}

liegt nicht in

K

, deshalb kannst Du ihn auch nicht addieren.
Wenn es um den Körper

K

geht und seine Abgeschlossenheit, hast Du nur Zahlen aus

K

, keine anderen.

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22:45 Uhr, 31.10.2014

"Dann ist x=y genau dann eine wahre Aussage, wenn a1=a2 und b1=b2."

Das ist kein Beweis, nur eine Umformulierung. Der richtige Beweis muss benutzen, dass

\sqrt{2}

irrational ist.

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22:46 Uhr, 31.10.2014

\frac{1}{a + b \sqrt{2}}

ist vorerst kein Element aus

K

, hier musst Du auch weiter graben.

UL-2014

22:59 Uhr, 31.10.2014

Vielen Dank erst einmal für die Hinweise!

Wg. Abgeschlossenheit:

So hatte ich das eigentlich auch überlegt - aber der Körper soll ja bezüglich der Addition / Multiplikation von reellen Zahlen einer sein. Die Formulierung verwirrt mich.

(Da war natürlich

\sqrt{3}

ein sehr dummes Beispiel, weil es nicht reell ist.)

Oder ist das "reell" so zu verstehen, dass die Rechenoperationen Addition und Multiplikation auf

ℝ

gemeint ist,

d . h

. dass einfach bloß alle dazugehörigen Rechenregeln gelten sollen? Also Assoziativität, Kommutativität und Distributivität.

Die beiden anderen Sachen schaue ich mir dann morgen ausgeschlafen noch einmal an.

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23:00 Uhr, 31.10.2014

\sqrt{3}

ist sehr wohl reell, nur nicht rational.

UL-2014

23:03 Uhr, 31.10.2014

. .

. wenn man anfängt, Mengen durcheinander zu werfen, sollte man wohl eine Pause machen. ;-)

UL-2014

23:32 Uhr, 31.10.2014

Könnte ich den Nachweis der eindeutigen Darstellung von

x \in K

auch über eine injektive Abbildung erbringen?

Sei

x

eine Abbildung auf

K \times K

mit

x = f (b) = \sqrt{2} \cdot b + a

f (b)

ist injektiv, wenn gilt:

f (b 1) = f (b 2) \Leftrightarrow b 1 = b 2

\sqrt{2} \cdot b 1 + a = \sqrt{2} \cdot b 2 + a \Leftrightarrow b 1 = b 2

\Rightarrow f (b)

ist injektiv.

Sprich, wenn ich nun

x 1 = f (b 1)

und

x 2 = f (b 2)

setze, folgt daraus, dass die nur dann gleich sein können, wenn

b 1 = b 2

.

Wie ginge denn der von dir angesprochene Weg? Auf den komme ich gerade nicht...

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23:38 Uhr, 31.10.2014

Es geht einfacher.
Sei

a + b \sqrt{2} = c + d \sqrt{2}

. Wir wollen zeigen:

a = c, b = d

.
Nehmen wir an, dass

b \neq d

. Dann haben:

a + b \sqrt{2} = c + d \sqrt{2}

a - c = (d - b) \sqrt{2}

\sqrt{2} = \frac{a - c}{d - b}

(wir dürfen teilen, weil

b \neq d

) =>

\sqrt{2}

liegt in

ℚ

.
Das kann aber nicht sein,

\sqrt{2}

ist irrational. Der Widerspruch zeigt, dass

b = d

. Deshalb auch

a = c

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23:43 Uhr, 31.10.2014

Und ein Hinweis in Sachen multiplikative Inverse:

(a + b \sqrt{2}) (a - b \sqrt{2}) = a^{2} - 2 b^{2} \in ℚ

UL-2014

00:06 Uhr, 01.11.2014

DANKE! An die quadratische Ergänzung hatte ich gar nicht gedacht...

Dann wäre

(a + b \sqrt{2}) \cdot (a - b \sqrt{2}) \cdot y = a - b \sqrt{2}

bzw. nach Umformungen

y = \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - 2 b^{2}}

für

a^{2} \neq 2 b^{2}

und damit

\in K,

weil die Wurzel jetzt im Zähler steht und nicht mehr im Nenner.

Die Bedingung

a^{2} \neq 2 b^{2}

ist kein Problem, weil wir uns ja in

K \ {0}

bewegen und für

a, b \neq 0

immer

a^{2} \neq 2 b^{2},

wenn

a, b \in ℚ

.

Der Widerspruchsbeweis ist wirklich schöner als meiner. Danke!

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