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Abgeschlossenheit zeigen

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Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

RocMarci aktiv_icon

20:46 Uhr, 21.05.2020

Liebes Forum,
ich stecke bei folgender Aufgabe fest: Ich soll zeigen dass

{

(x,y)eR²:x²+2y²≤1}=:A kompakt ist. (mit euklid. Metrik)
Nun weiß ich: kompakt<=>abg. und beschränkt.
Da für die Menge gilt: 0≤x²+2y²≤1 ist diese klarerweiße durch inf,sup:0,1 beschränkt.
Nun ist mir auch klar das diese Abgeschlossen ist jedoch tu ich mir bei dem Beweis schwer.
Ich weiß: Sie ist abgeschlossen, wenn ich zeigen kann das für alle Häufunfspunkte der Menge auch gilt, das dieser HP auch Teil der Menge ist.

D . h

. mein Ansatz ist Sei (x¹,y¹) HP von A.
Zu zeigen: (x¹,y¹)

e A \Leftrightarrow

(x¹)²+2(y¹)²≤1.
jetzt hab ichs mit einer gegenannahme versucht: (x¹,y¹) liegt außerhalb der Menge

d . h

. (x¹)²+2(y¹)²>1. Jetzt muss ich eine epsilon-Umgebung(in abhängigkeit von (x¹,y¹) finden, sodass keine elemente aus A drinnen liegen: Also:
√((x¹-x)²+(y¹-y)²)≥epsilon für alle

(x, y)

element A(nach der definition von euklid. Metrik).
Ich hab es mal mit

z . b

. epsilon:=((x¹)²+2(y¹)²-1)/2 versucht, aber das war noch zu groß gewählt weil ich punkte von A gefunden hab die noch in der Umgebung liegen.

Meine Frage ist jetzt

1 .)

ist mein ansatz theoretisch richtig und

2 .)

wie finde ich ein

ε

was klein genug ist bzw wie komme ich auf dieses

ε

.

Ich bin mir sicher man kann dieses Bsp wesentlich simpler lösen, aber da es so ein

ε

gibt wäre ich doch interessiert wie man es findet, wenn man diesen Ansatz wählt.

Danke! LG RocMarci

DrBoogie aktiv_icon

21:49 Uhr, 21.05.2020

Eigentlich ist es offensichtlich, deshalb finde ich schade, wenn solche Beweise gefordert werden.
Aber formal ist es doch auch nicht schwer. Wenn ein Punkt

(x_{1}, y_{1})

außerhalb des Kreises liegt, also

x_{1}^{2} + y_{1}^{2} > 1

gilt, dann reicht ein

ε = 0.25 (x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 1) / (∣ x_{1} ∣ + ∣ y_{1} ∣)

. Das kann so gezeigt werden: wenn jetzt

(x_{0}, y_{0})

in der

ε

-Umgebung von

(x_{1}, y_{1})

liegt, dann gilt

(x_{0} - x_{1})^{2} + (y_{0} - y_{1})^{2} < ε^{2}

, also insbesondere

∣ x_{0} - x_{1} ∣ < ε

und

∣ y_{0} - y_{1} ∣ < ε

. Dann haben

x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = (x_{0} - x_{1} + x_{1})^{2} + (y_{0} - y_{1} + y_{1})^{2} =

= (x_{0} - x_{1})^{2} + 2 x_{1} (x_{0} - x_{1}) + x_{1}^{2} + (y_{0} - y_{1})^{2} + 2 y_{1} (y_{0} - y_{1}) + y_{1}^{2} \geq

\geq x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 2 ∣ x_{1} ∣ ∣ x_{0} - x_{1} ∣ - 2 ∣ y_{1} ∣ ∣ y_{0} - y_{1} ∣ \geq x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 2 (∣ x_{1} ∣ + ∣ y_{1} ∣) ε =

= x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 0.5 (x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - 1) = 0.5 + 0.5 (x^{2} + y^{2}) > 0.5 + 0.5 = 1

.

Das waren recht grobe Abschätzungen, dafür habe ich so ein kleines

ε

gebraucht. Eigentlich kann

ε

auch größer gewählt werden, nur muss man dann besser abschätzen. Aber so reicht es auch.

ermanus aktiv_icon

23:40 Uhr, 21.05.2020

Hallo,
kann DrBoogie nur zustimmen,
will aber auch noch kurz meinen Senf hinzugeben:
es ist manchmal so, dass man meinen könnte, das Toplologie-Curriculum
sei extra so gebaut, dass man ja nicht die einfachen klaren
Kriterien zu früh bereitstellt, damit die Studierendengemeinde
sich ordentlich an

ε

-Kram abarbeiten muss:
für eine stetige Abbildung gilt, dass das Urbild einer offenen/abgeschlossenen
Menge offen/abgeschlossen ist.

Da

f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2}

als Polynom offenbar stetig ist,
muss also

A = f^{- 1} ([0, 1])

abgeschlossen sein.
Das wird dir, lieber Fragesteller vielleicht erst für deine Zukunft
nützen. Es musste aber aus mir raus ...

Gruß ermanus

RocMarci aktiv_icon

09:51 Uhr, 22.05.2020

Ah super danke Dr.Boogie!! Ich werd versuchen zu verstehen wie du bei der Abschätzung vorgegangen bist, damit ich das in Zukunft auch selber hinbekommen kann.
Danke vielmals für die Hilfe!
Danke auch an Ermanus für den Tipp, wie ich oben geschrieben hab, dachte ich mir das es hier einen wesentlich simpleren Zugang gibt, aber nachdem ich schon mit dem Epsilon angefangen hatte, wollte ich nicht einfach aufgeben und es anders versuchen.
Werd mir den Zugang aber merken und in der Zukunft einsetzen.
LG RocMarci

DrBoogie aktiv_icon

09:54 Uhr, 22.05.2020

Es ist deutlich einfacher geometrisch. Man kann doch offensichtlich immer einen kleinen Kreis um

(x_{1}, y_{1})

zeichnen, der außerhalb des Einheitskreises liegt. Daher meinte ich, dass hier einen analytischen Beweis zu fordern eigentlich bescheuert ist. Aber das ist nur meine Meinung. Ich war zwar immer recht gut in technischen Beweisen, liebe selbst doch etwas Eleganteres.

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