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Abhängigkeit beim Münzwurf

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

 
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Stochastikerin

Stochastikerin aktiv_icon

11:54 Uhr, 27.11.2021

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Eine faire Münze wird n Mal geworfen, wobei die Würfe voneinander unabhängig seien. Wir betrachten für i{1,2,...,n}

A0= {"Es wird eine gerade Anzahl an Kopf geworfen"}
Ai= {"Der i-te Wurf zeigt Kopf"}

Zu zeigen ist, dass je n dieser n+1 Einträge unabhängig sind, aber die Ereignisse A0,A1,A2,...,An zusammen nicht.

Als Hinweis:

Sei m. Sei X~bm,12. Dann gilt:

P[X ist gerade] =12

---

Okay. Der erste Aufgabenteil ist ja zu zeigen, dass je n dieser n+1 Einträge unabhängig sind.

Unabhängigkeit bei Ereignissen besteht, wenn gilt:

P[AB]=P[A]P[B]

Hier weiß ich nun aber nicht genau, wie ich die unabhängigkeit zeigen kann.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

12:49 Uhr, 27.11.2021

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Erste Erkenntnis: Eine Menge von Ereignissen B1,,Bm in diesem W-Raum ist auf jeden Fall unabhängig, sofern es keine i,j,k mit jk gibt, so dass das Ergebnis von Münzwurf i sowohl Bj als auch Bk beeinflusst. Diese Bedingung ist wohlgemerkt hinreichend, nicht notwendig.


1) Gilt Bk=Aik mit 1i1<i2<<imn, so ist die o.g. Bedingung erfüllt, und die Ereignisse damit unabhängig.


2) Gilt jedoch Bk=Aik mit 0=i1<i2<<imn, so ist diese Bedingung nicht mehr erfüllt, da B1=A0 von Wurfergebnissen abhängt, die auch in B2,,Bm eingehen. Aber:

Betrachten wir die Indexmenge J:={1,,n}\{i2,,im} derjenigen Münzwürfe, die NICHT von B2,,Bm erfasst werden. Ist mn, dann ist diese Indexmenge nichtleer! Nun definieren wir Ereignis C folgendermaßen:

Ist m ungerade, so sei C:={"Anzahl Kopf in den Würfen aus J ist gerade"}, für gerade m jedoch umgekehrt C:={"Anzahl Kopf in den Würfen aus J ist ungerade"}.

Dann gilt B1B2Bm=A0B2Bm=!!!CB2Bm, und für C,B2,,Bm ist nun aber die o.g. Bedingung erfüllt. Damit gilt

P(B1B2Bm)=P(CB2Bm)
=P(C)P(B2)P(Bm)=P(B1)P(B2)P(Bm)

letzteres wegen P(A0)=P(B1)=P(C)=12.


Im Extremfall m=n+1 ist das jedoch anders: Hier ist J leer und damit entweder P(C)=0 oder P(C)=1 (je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist), jedenfalls NICHT das für die Unabhängigkeitsgleichung erforderliche P(C)=12.


Ich weiß, das ist insgesamt schwer verdaulich, also langsam und in Ruhe kauen.
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