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Abhängigkeit beim Münzwurf

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

Stochastikerin

11:54 Uhr, 27.11.2021

Eine faire Münze wird

n \in ℕ

Mal geworfen, wobei die Würfe voneinander unabhängig seien. Wir betrachten für

i \in {1, 2, ..., n}

A_{0} =

{

"Es wird eine gerade Anzahl an Kopf geworfen"}

A_{i} =

{

"Der i-te Wurf zeigt Kopf"}

Zu zeigen ist, dass je

n

dieser

n + 1

Einträge unabhängig sind, aber die Ereignisse

A_{0}, A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}

zusammen nicht.

Als Hinweis:

Sei

m \in ℕ

. Sei

X ~ b_{m \frac{,1}{2}}

. Dann gilt:

P [X

ist gerade

]

= \frac{1}{2}

- - -

Okay. Der erste Aufgabenteil ist ja zu zeigen, dass je

n

dieser

n + 1

Einträge unabhängig sind.

Unabhängigkeit bei Ereignissen besteht, wenn gilt:

P [A \cap B] = P [A] \cdot P [B]

Hier weiß ich nun aber nicht genau, wie ich die unabhängigkeit zeigen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

12:49 Uhr, 27.11.2021

Erste Erkenntnis: Eine Menge von Ereignissen

B_{1}, \dots, B_{m}

in diesem W-Raum ist auf jeden Fall unabhängig, sofern es keine

i, j, k

mit

j \neq k

gibt, so dass das Ergebnis von Münzwurf

i

sowohl

B_{j}

als auch

B_{k}

beeinflusst. Diese Bedingung ist wohlgemerkt hinreichend, nicht notwendig.

1) Gilt

B_{k} = A_{i_{k}}

mit

1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m} \leq n

, so ist die o.g. Bedingung erfüllt, und die Ereignisse damit unabhängig.

2) Gilt jedoch

B_{k} = A_{i_{k}}

mit

0 = i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m} \leq n

, so ist diese Bedingung nicht mehr erfüllt, da

B_{1} = A_{0}

von Wurfergebnissen abhängt, die auch in

B_{2}, \dots, B_{m}

eingehen. Aber:

Betrachten wir die Indexmenge

J := {1, \dots, n} \ {i_{2}, \dots, i_{m}}

derjenigen Münzwürfe, die NICHT von

B_{2}, \dots, B_{m}

erfasst werden. Ist

m \leq n

, dann ist diese Indexmenge nichtleer! Nun definieren wir Ereignis

C

folgendermaßen:

Ist

m

ungerade, so sei

C := {"Anzahl Kopf in den Würfen aus J ist gerade"}

, für gerade

m

jedoch umgekehrt

C := {"Anzahl Kopf in den Würfen aus J ist ungerade"}

.

Dann gilt

B_{1} \cap B_{2} \cap \dots \cap B_{m} = A_{0} \cap B_{2} \cap \dots \cap B_{m} \overset{!!!}{=} C \cap B_{2} \cap \dots \cap B_{m}

, und für

C, B_{2}, \dots, B_{m}

ist nun aber die o.g. Bedingung erfüllt. Damit gilt

P (B_{1} \cap B_{2} \cap \dots \cap B_{m}) = P (C \cap B_{2} \cap \dots \cap B_{m})

= P (C) \cdot P (B_{2}) \cdot \dots P (B_{m}) = P (B_{1}) \cdot P (B_{2}) \cdot \dots P (B_{m})

letzteres wegen

P (A_{0}) = P (B_{1}) = P (C) = \frac{1}{2}

.

Im Extremfall

m = n + 1

ist das jedoch anders: Hier ist

J

leer und damit entweder

P (C) = 0

oder

P (C) = 1

(je nachdem, ob

n

gerade oder ungerade ist), jedenfalls NICHT das für die Unabhängigkeitsgleichung erforderliche

P (C) = \frac{1}{2}

.

Ich weiß, das ist insgesamt schwer verdaulich, also langsam und in Ruhe kauen.

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