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Abhängigkeit der Lösung vom Anfangswert
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen
 
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Betrachte das Cauchy-Problem Zeige folgendes: (1) Lösung des Cauchy-Problems, (2) ist monoton, (3) (4) konvex , (5) gerade Zu (1) Die Existenz ist vermöge Piccard-Lindelöf dadurch gewährleistet, dass eine stetige Funktion ist "in der Nähe" von ist. Die Eindeutigkeit ist dadurch gewährleistet, dass "in der Nähe" von stetig partiell nach ableitbar ist. (i.e. ist stetig) Zu (2): Unklar, welche Möglichkeit besser ist; mit der direkten Definition von der Monotonie arbeiten oder mit der Tatsache, dass Monotonie schon aus der Nichtnegativität der ersten Ableitung folgt? Da wir hier Ableitungen haben, scheint es vernünftiger zu sein, dass wir die Monotonie vermöge der Ableitungsdefinition beweisen. Nur, mein Problem bei der Beweisfindung ist, dass ich nicht weiß, wie sich die Funktion in Abhängigkeit von weiterentwickelt. Soll heißen, wenn wir die Fälle und (bzw. y_0<0) untersuchen, wie können wir schließen, wie sich nun in Abhängigkeit dieses Anfangswertes entwickelt ? Das Problem ist ja, dass die Funktion ja, auch wenn ist, ja beliebig weitergehen könnte. Wir haben ja oben keine Bedingung, die uns sagt, wie die Funktion weiterlaufen soll, wenn der Anfangswert eine bestimmten Wert hat. Es wird ja oben nur der Zusammenhang zwischen Lösungsfunktion und deren Steigung angegeben. Aber wie soll man das verwenden um zu schließen wie etwa die Funktion weitergehen wird, wenn wir als Fall betrachten? Wäre für Hilfe sehr froh! Gruß Schurli Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, im Fall ist die eindeutige Lösung . Wenn dann bleibt die zugehbörige Lösung überall positiv, weil sie nirgendwo die x-Achse schneiden kann - sonst hätten wir dort zwei Lösungen, nämlich und die trivial Null-Lösung . Gruß pwm |
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Hi pwm! Danke dir mal für die schnelle Antwort! Wie hast du das geschlossen, dass aus schon folgt, dass ist? Wie gesagt, mein Verstädnisproblem ist, dass ich nicht weiß wie das zu schließen ist. Oben steht nirgendwo, wie y weitergeht, wenn wir setzen. Es steht nirgendwo, dass es immer 0 bleiben muss, wenn wir setzen. Wenn es doch zu schließen ist, bitte ich dich, dass du das etwas ausführlicher erläuterst. Ich habe gestern zwei Stunden daran gebrütet und bin nicht dahinter gekommen, weil die Bedingung das einfach auf formaler Ebene nicht aussagt. |
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Werter pwm, hast du einen Satz benutzt um zu schließen, dass aus schon folgt, dass gilt ? Wenn ja, welchen? Nur weil der Anfangswert 0 ist, heißt das ja noch lange nicht, dass die gesamte Lösung gleich null ist, da es viele Funktionen gibt, die bei 0 anfangen und dann exponentiell zunehmen. (z.B. |
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Hallo dass eine Lösung der Dgl ist siehst du hoffentlich direkt. wegen der Eindeutigkeit ist es dann zu dem Anfangswert die einzige Lösung. Gruß lul |
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Ich führe es mal aus und bitte dich, dass du mir bestätigst ob das richtig ist! Also, ist Lösung, weil . Weil Piccard-Lindelöf aufgrund der partiellen Differenzierbakeit von nach die Lipschitz Stetigkeit impliziert, bedeutet dies vermöge der Aussage des Hauptsatzes, dass es sich hier um eine eindeutige Lösung durch diesen Anfangswert handelt; es kann also keine zweite geben, die durch dieses Paar hindurch geht. |
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Hallo richtig |
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Danke, dass du dir die Zeit genommen hast, Ledum! |
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