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Abhängigkeit der Lösung vom Anfangswert

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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Schurli

Schurli aktiv_icon

10:49 Uhr, 08.01.2020

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Betrachte das Cauchy-Problem yʹ=arctan(y),y(0)=y0. Zeige folgendes:
(1) !yC2() Lösung des Cauchy-Problems, (2) y ist monoton, (3) limty2(t)=0y0=0, (4) y konvex y00, (5) y gerade y0=0

Zu (1) Die Existenz ist vermöge Piccard-Lindelöf dadurch gewährleistet, dass f(y):=arctan(y) eine stetige Funktion ist "in der Nähe" von (0,y0) ist. Die Eindeutigkeit ist dadurch gewährleistet, dass f "in der Nähe" von (0,y0) stetig partiell nach y ableitbar ist. (i.e. fy ist stetig)


Zu (2):
Unklar, welche Möglichkeit besser ist; mit der direkten Definition von der Monotonie arbeiten oder mit der Tatsache, dass Monotonie schon aus der Nichtnegativität der ersten Ableitung folgt? Da wir hier Ableitungen haben, scheint es vernünftiger zu sein, dass wir die Monotonie vermöge der Ableitungsdefinition beweisen.

Nur, mein Problem bei der Beweisfindung ist, dass ich nicht weiß, wie sich die Funktion y(t) in Abhängigkeit von y0 weiterentwickelt.
Soll heißen, wenn wir die Fälle y0=0 und y0>0 (bzw. y_0<0) untersuchen, wie können wir schließen, wie sich nun y(t) in Abhängigkeit dieses Anfangswertes entwickelt ? Das Problem ist ja, dass die Funktion ja, auch wenn y0=0 ist, ja beliebig weitergehen könnte. Wir haben ja oben keine Bedingung, die uns sagt, wie die Funktion weiterlaufen soll, wenn der Anfangswert eine bestimmten Wert hat. Es wird ja oben nur der Zusammenhang zwischen Lösungsfunktion und deren Steigung angegeben. Aber wie soll man das verwenden um zu schließen wie etwa die Funktion weitergehen wird, wenn wir y0=0 als Fall betrachten?

Wäre für Hilfe sehr froh!

Gruß Schurli



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

11:02 Uhr, 08.01.2020

Antworten
Hallo,

im Fall y0=0 ist die eindeutige Lösung y(t)=0t.

Wenn y0>0 dann bleibt die zugehbörige Lösung y überall positiv, weil sie nirgendwo die x-Achse schneiden kann - sonst hätten wir dort zwei Lösungen, nämlich y und die trivial Null-Lösung ...

Gruß pwm
Schurli

Schurli aktiv_icon

11:06 Uhr, 08.01.2020

Antworten
Hi pwm!

Danke dir mal für die schnelle Antwort!

Wie hast du das geschlossen, dass aus y(0)=0 schon folgt, dass y(t)=0t ist? Wie gesagt, mein Verstädnisproblem ist, dass ich nicht weiß wie das zu schließen ist. Oben steht nirgendwo, wie y weitergeht, wenn wir t=a setzen. Es steht nirgendwo, dass es immer 0 bleiben muss, wenn wir t=0 setzen. Wenn es doch zu schließen ist, bitte ich dich, dass du das etwas ausführlicher erläuterst. Ich habe gestern zwei Stunden daran gebrütet und bin nicht dahinter gekommen, weil die Bedingung das einfach auf formaler Ebene nicht aussagt.
Schurli

Schurli aktiv_icon

11:23 Uhr, 08.01.2020

Antworten
Werter pwm,

hast du einen Satz benutzt um zu schließen, dass aus y(0)=0 schon folgt, dass y(t)=0t gilt ? Wenn ja, welchen? Nur weil der Anfangswert 0 ist, heißt das ja noch lange nicht, dass die gesamte Lösung gleich null ist, da es viele Funktionen gibt, die bei 0 anfangen und dann exponentiell zunehmen. (z.B. f(x)=ex-1,x{0})
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

11:52 Uhr, 08.01.2020

Antworten
Hallo
dass y=0 eine Lösung der Dgl ist siehst du hoffentlich direkt. wegen der Eindeutigkeit ist es dann zu dem Anfangswert die einzige Lösung.
Gruß lul
Schurli

Schurli aktiv_icon

10:31 Uhr, 09.01.2020

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Ich führe es mal aus und bitte dich, dass du mir bestätigst ob das richtig ist!

Also, y=0 ist Lösung, weil y(t)ʹ=0ʹ=0=arctan(0)=arctan(y(t)ʹ). Weil Piccard-Lindelöf aufgrund der partiellen Differenzierbakeit von f:=f(y) nach y die Lipschitz Stetigkeit impliziert, bedeutet dies vermöge der Aussage des Hauptsatzes, dass es sich hier um eine eindeutige Lösung durch diesen Anfangswert (0,y0) handelt; es kann also keine zweite geben, die durch dieses Paar hindurch geht.


Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

13:01 Uhr, 10.01.2020

Antworten
Hallo
richtig
Frage beantwortet
Schurli

Schurli aktiv_icon

16:17 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Danke, dass du dir die Zeit genommen hast, Ledum!