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Abi Prüfung 2009 Aufgabe

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: mathe

Teonidas aktiv_icon

15:50 Uhr, 19.02.2010

Moin moin

Werde nächste Woche meine Vorprüfung schreiben in Mathe und habe von nem Kollegen die Abi Prüfung

2009

erhalten. Die rechne ich momentan ein wenig mal durch ;-)

Jetzt hänge ich hier an einer Aufgabe:
Eine 100cm hohe und 60cm breite Regentonne Zylinderförmig wird durch eine Ablassöffnung entleert. Die Höhe

h

des Wasserstandes kann durch die Funktion

h (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 5 x + 100

modelliert werden.

(x

ist die Zeit in Minuten)

Frage:
Wie lange muss das Wasser bei voller Tonne laufen, um einen 10-Liter-Eimer zu füllen? Geben Sie den Wert exakt an.

Meine Annahme:
Ich rechne das Volumen der Tonne aus:

V =

282.743cm^3

\Rightarrow

282,743dm^3

\Rightarrow

282,743Liter (ist diese Annahme überhaupt richtig??)
Dann wollte ich die zeitliche Differenz nehmen. Frage vorweg: Kann ich mit der gegeben Funktion weiterrechnen?? Oder muss ich auf-/ableiten?
Meine weitere Annahme:
282,743dm^3

= \frac{1}{16} x^{2} - 5 x + 100

x (1) = 107,26

(Minuten)
Ich ziehe

10

Liter ab:
272,743dm^3

= \frac{1}{16} x^{2} - 5 x + 100

x (2) = 106,26

(Minuten)
Differenz

\to 107,26 - 106,06 = 1,2

(Minuten)

Ist diese Annahme richtig???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

16:01 Uhr, 19.02.2010

10 L i t e r = 10 d m^{3} = 10000 c m^{3}

10000 c m^{3} = π \cdot {(30 c m)}^{2} \cdot h

\frac{10000}{900 \cdot π} c m = h

\frac{100}{9 \cdot π} c m = h

Also musst du lösen:

\frac{1}{16} x^{2} - 5 x + 100 = 100 c m - \frac{100}{9 \cdot π} c m

So würde ich das jetzt machen.

Teonidas aktiv_icon

16:29 Uhr, 19.02.2010

Damit hätte ich jetzt die Höhe der

10

Liter in der Tonne. Aber wie errechne ich damit nun die gebrauchte Zeit...??
Vielleicht zu beachten wäre noch, dass in der Frage steht: "Wie lange muss das Wasser bei >>voller Tonne<< laufen, um einen 10-Liter-Eimer zu füllen? ..."

Shipwater aktiv_icon

16:31 Uhr, 19.02.2010

Gleichung nach

x

auflösen?

Man kann sich das auch so denken. Wenn

10

Liter

= 10000 c m^{3}

weg sind bleiben

π \cdot 900 c m^{2} \cdot 100 c m - 10000 c m^{3} \approx 272743,3 c m^{3}

übrig. Und ein Zylinder mit diesem Volumen und dem Radius

30 c m

hat die Höhe

\frac{272743,3}{900 \cdot π} c m

Mithilfe der Höhenfunktion in Abhängigkeit der Zeit kannst du dann die Zeit berechnen bis die Höhe diesen Wert hat.

Teonidas aktiv_icon

16:57 Uhr, 19.02.2010

Super! Vielen Dank!
Darauf muss man dann doch erstmal kommen ;-)

Ich lag aber mit meiner Annahme nicht so falsch. Aus meiner Sicht erklärte sich meine Schlußfolgerung doch für sinnig... Denn ich nehme ja das volle Volumen der Tonne "Minus" der "Restvolumen" der Tonne. Aber ich lag in dem Sinne falsch, dass ich mit dem Volumen weitergerechnet habe, anstatt der Höhe!

Vielen Dank Herr Shipwater ;-)

Besten Gruß - Teo

ahmedhos aktiv_icon

17:59 Uhr, 19.02.2010

Hi,

V (h (x)) = π \cdot r^{2} \cdot h (x)

h (x) = \frac{1}{16} \cdot x^{2} - 5 x + 100

x_{1} = 0

x_{2} =

h_{t} = h (x_{1} = 0) = 100 c m

h_{E} = h_{t} - h_{w} = h (x_{1}) - h (x_{2}) = \frac{V (h_{E})}{π \cdot r^{2}} = \frac{10^{4} c m^{3}}{π \cdot {(30 c m)}^{2}} = \frac{100}{9 \cdot π} c m = 3,537 c m

\Rightarrow h (x_{2}) = h (x_{1}) - \frac{100}{9 \cdot π} = \frac{1}{16} \cdot x_{2}^{2} - 5 x_{2} + 100 \Leftrightarrow 100 - \frac{100}{9 \cdot π} = \frac{1}{16} \cdot x_{2}^{2} - 5 x_{2} + 100

\Rightarrow 1600 \cdot (1 - \frac{1}{9 \cdot π}) = x^{2} - 80 x + 1600 \Leftrightarrow x^{2} - 80 x + 1600 \cdot (1 - (1 - \frac{1}{9 \cdot π})) = 0

\Leftrightarrow x^{2} - 80 x + \frac{1600}{9 \cdot π} = 0

Mithilfe der Mitternachtsformel kommen 2 Lösungen raus:

x_{1} = 0,713723

Minuten

= 43

Sekunden

x_{2} = 79,2863

Minuten

Die realistische Lösung wäre

x_{1} . .

.

Hast du auch dasselbe Ergebnis?

. .

Shipwater aktiv_icon

18:20 Uhr, 19.02.2010

Ich erhalte mit meinem Ansatz das gleiche Resultat.

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