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Ableiten und Elastizität

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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16:52 Uhr, 06.06.2016

Ich habe ein großes Problem, mit dem ich gerade nicht weiterkomme.

Die Elastizität ist definiert als:

E = x * \ f r a c {f' (x)} {f (x)}

Folgende Funktion ist gegeben:

f (x) = \ f r a c {l n (x^2)} {2 * e^(x^2 + 1)}

(e hoch x^2 + 1)

Als erstes habe ich versucht abzuleiten
Da habe ich als Ergebnis:

f' (x) = \ f r a c {4 * e^(x^2 + 1)} {x} - l n (x^2) * 4 * e^((x^2) + 1) / (4 * e^((x^2) + 1)^2

Ist den überhaupt meine erste Ableitung richtig?
Die ganzen Rechner im Internet vereinfachen erst die Funktion vor dem ableiten, was ich aber nicht möchte, da ich nicht weiss wieso und mit welchen Regeln vereinfacht wurde.

Wenn meine Ableitung richtig sein sollte... Setze ich das in die Formel der Elastizität ein, bekomme ich eine Funktion, die so unübersichtlich ist, das ich überhaupt nicht damit klarkomme.

Jetzt meine Fragen.
Wie erwähnt, habe ich richtig abgeleitet?
Wenn ich lieber vereinfachen soll, mit welchen Regeln wird dies gemacht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:00 Uhr, 06.06.2016

Verwende die Quotientenregel:

u = {ln x}^{2} - \to u' = \frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x = \frac{2}{x}

v = 2 \cdot e^{x^{2} + 1} - \to v' = 2 \cdot e^{x^{2} + 1} \cdot 2 x = 4 x \cdot e^{x^{2} + 1}

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17:01 Uhr, 06.06.2016

Ja, diese habe ich auch angewendet

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17:09 Uhr, 06.06.2016

Ergebnis kannst du hier überprüfen:

http//www.ableitungsrechner.net/

Alternativ: Poduktregel: (vorher vereinfachen)

f (x) = \frac{2 ln x \cdot e^{- x^{2} - 1}}{2} = ln x \cdot e^{- x^{2} - 1}

Vllt. klappt's damit besser.

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17:11 Uhr, 06.06.2016

Genau das ist ja gerade mein Problem.
Die Ableitungsrechner im Netz vereinfachen zuerst immer.
Ich wíll es nicht vereinfachen bzw. wenn ich es vereinfache, will ich wissen weshalb und warum, also nach welchem Gesetz

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17:11 Uhr, 06.06.2016

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17:14 Uhr, 06.06.2016

{ln a}^{b} = b \cdot ln a

1/(irgendwas) = (irgendwas)^(-1)

Vereinfachen macht die Sache übersichtlicher und wenig aufwändig.

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19:34 Uhr, 09.06.2016

SO weit komme ich dank deiner Hilfe:

\frac{e^{- x^{2} - 1}}{x} - 2 x * l n (x) * e^{- x^{2} - 1}

Laut Ableitungsrechner kann man noch weiter verinfachen, allerdings verstehe ich nicht wie und lasse es einfach mal bei dieser Form.

Die Elastizität einer Funktion ist definiert als

\frac{f ʹ (x)}{f (x)} * x

Also in diesem Fall:

\frac{e^{- x^{2} - 1}}{x} - 2 x * l n (x) * e^{- x^{2} - 1}

____________________________________________ *

x

l n (x) * e^{- x^{2} - 1}

Nun ist das ganze für mich so unübersichtlich, dass ich nicht weiss was ich machen soll.
Wie fasse ich diesen Ausdruck am Besten zusammen, damit ich so viel wie möglich kürzen kann?

ledum aktiv_icon

21:34 Uhr, 09.06.2016

Hallo
da überall der Faktor

e^{- x^{2} - 1}

steht den kürzen,
dann in 2 Summanden teilen.

\frac{1}{ln (x)} - 2 x^{2}

Gruß ledum

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