Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ableitung 2pi-periodischer Funktionen

Ableitung 2pi-periodischer Funktionen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Periodizität

Froog

01:37 Uhr, 17.06.2018

Hallo,
mich würde folgendes interessieren: Wenn

f

eine

2 π

-periodische Funktion ist, ist dann ihre zweite Ableitung

- f

?

Wenn ja, wie würde der Beweis aussehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

11:46 Uhr, 17.06.2018

Hallo,,

f (x) = 1

ist eine

2 \cdot π -

periodische Funktion

f'' (x) = - f (x) = - 1

?

Gruß pwm

Froog

14:58 Uhr, 19.06.2018

ok, ja das habe ich nicht bedacht. Es geht mir nämlich um das folgende Beispiel. Vielleicht kannst Du mir da ja helfen:

Gegeben ist der Vektorraum

V \subset C^{\infty} (ℝ)

der

2 π

-periodischen beliebig oft differenzierbaren Funktionen versehen mit dem Euklidischen Skalarprodukt.

(f, g) \to < f, g > := \int_{- π}^{π} f (x) g (x) d x

Man zeige, dass

\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} \in

End(V) selbstadjungiert ist.

Ich habe es versucht mit meiner obigen Behauptung zu beweisen. Wie ich sehe, wird das nicht so ganz klappen.

Vielleicht kannst Du mir da weiterhelfen. Danke :-)

pwmeyer aktiv_icon

17:28 Uhr, 19.06.2018

Hallo,

dann schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass dieser Operator selbstadjungiert ist.

Du wirst sehen, dass sich dann die Verwendung partieller Integration aufdrängt.

Gruß pwm

Froog

19:28 Uhr, 19.06.2018

ok, also

f

ist selbstadjungiert, wenn

< f (v), w > = < v, f (w) >

Wende ich das nun auf die zweite Ableitung an, so gilt:

< \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} g, h > =^{!} < g, \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} h >

Dann ist:

< \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} g, h > = \int_{- π}^{π} (\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} g) (x) \cdot h (x) = (\frac{d}{d x} g) (x) \cdot h (x) - \int_{- π}^{π} (\frac{d}{d x} g) (x) \cdot (\frac{d}{d x} h) (x)

= (\frac{d}{d x} g) (x) \cdot h (x) - (g (x) \cdot (\frac{d}{d x} h) (x) - \int_{- π}^{π} g (x) \cdot (\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} h) (x))

= (\frac{d}{d x} g) (x) \cdot h (x) - g (x) \cdot (\frac{d}{d x} h) (x) + \int_{- π}^{π} g (x) \cdot (\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} h) (x)

Das war ein super Tipp, danke.
Nur irgendwie bin ich noch nicht ganz am Ende. Habe ich einen Fehler gemacht oder komm ich nur nicht drauf wie ich weitermachen muss?

Froog

19:29 Uhr, 19.06.2018

ok, ich sehe gerade, dass ich mich beim integrieren geirrt habe. Ich versuchs noch mal

Froog

19:41 Uhr, 19.06.2018

ok, ich habs jetzt

< \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} g, h >

= ... = [(\frac{d}{d x} g) (x) \cdot h (x)] {|_{- π}^{π} - [g (x) \cdot (\frac{d}{d x} h) (x)] |}_{- π}^{π} + \int_{- π}^{π} g (x) \cdot (\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} h) (x) d x

= (\frac{d}{d x} g) (π) (h (π) - h (- π)) + (\frac{d}{d x} h) (π) (- g (π) + g (- π)) + \int_{- π}^{π} g (x) \cdot (\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} h) (x) d x

= \int_{- π}^{π} g (x) \cdot (\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} h) (x) d x = < g, \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} h >

,da

g

und

h 2 π

-periodisch

1431374

1430988

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?