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Ableitung 5.73

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitung, Vollständig Induktion

WesleyCrusher aktiv_icon

00:23 Uhr, 24.06.2022

Hallo, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Aufgabe: Beweise durch

V . I

über

n \in ℕ,

dass die n-te Ableitung der Funktion

f (x) = sin (2 \cdot x)

durch die Formel

f^{(n)} (x) = 2^{n} \cdot sin (0,5 \cdot n \cdot π + 2 \cdot x)

berechnet werden kann.

Meine Lösung:

I.Anfang: Für

n = 1,

erste Ableitung bilden:

f^{(1)} (x) = f^{'} (x) = {(sin (2 \cdot x))}^{'} =

(Kettenregel)

2 \cdot cos (2 \cdot x) =

(Additionstheorem?)

= 2 \cdot sin (2 \cdot x + 0,5 \cdot π) = 2 \cdot sin (0,5 \cdot π + 2 \cdot x) = 2^{1} \cdot sin (0,5 \cdot 1 \cdot π + 2 \cdot x)

I.Annahme:

Für

n \geq 1

gilt

f^{(n)} (x) = 2^{n} \cdot sin (0,5 \cdot n \cdot π + 2 \cdot x)

I.Schritt:

f^{(n)} (x) = 2^{n} \cdot sin (0,5 \cdot n \cdot π + 2 \cdot x) \Rightarrow f^{(n + 1)} (x) = 2^{n + 1} \cdot sin (0,5 \cdot (n + 1) \cdot π + 2 \cdot x)

Beweis:

f^{(n + 1)} (x) = {(f^{(n)} (x))}^{'} =

(Annahme)

{(2^{n} \cdot sin (0,5 \cdot n \cdot π + 2 \cdot x))}^{'}

ok hier kommt meine Frage. Also erstmal Faktorregel und Kettenregel

= 2^{n} \cdot cos (0,5 \cdot n \cdot π + 2 \cdot x) \cdot {(0,5 \cdot n \cdot π + 2 \cdot x)}^{'}

Stimmt das so weit? Wenn ja hab ich gerade das Problem mit der Ableitung von

0,5 \cdot n \cdot π + 2 \cdot x

Ist das nicht nach

x

abgeleitet

2,

und alles andere fällt weg, da alles andere quasi ein konstanter Summand ist? Oder stehe ich gerade auf dem Schlauch?

Vielen Dank schonmal.

LG Wesley

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