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Ableitung Doppelintegral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Miausch aktiv_icon

19:27 Uhr, 10.08.2012

Und noch mehr Integrale...seufz..

F_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{z - x} f (x, y) d y d x

Wir wollen nun, als Integrationsgrenze statt

z - x

nur

z

ist, (sprich Variablentransformation?) - wie muss ich das systematisch machen, so? :

Die Obergrenze für

y

ist:

y = z - x, z

ist unsere Integrationsgrenze, also als
Variable nicht zu verwenden, also:

y = t - x,

dh:

F_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{z} f (x, t - x) d t d x

?

Dann steht bei uns im Skript, dass man die Integrationsreihenfolge vertauschen kann, also so:

F_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{z} f (x, t - x) d t d x = \int_{- \infty}^{z} \int_{- \infty}^{\infty} f (x, t - x) d x d t

Warum darf man das hier?

Und was ich vor allem nicht verstehe ist Folgendes:

Wie leitet man

F_{Z} (z)

ab nach z? I.e. wie muss man

\frac{d}{d z} F_{Z} (z)

berechnen?

mpft mpft

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

hagman aktiv_icon

11:21 Uhr, 12.08.2012

Warum darf man Integrationen vertauschen?
Kommt drauf an. Um welches Integral geht es hier eigentlich? Lebesgue-Integral? Oder uneigentliches Riemann-Integral? Sagt dir Satz von Fubini etwas?

Zur Ableitung:
Nach dem Hauptsatz ist

\int_{a}^{x} g (x) d x

zu beliebig gewähltem

a

eine Stammfunktion von

g,

hier also

F_{Z}' (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x, z - x) d x

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21:49 Uhr, 12.08.2012

Hi

Es ist nicht klarer spezifiziert, was es für Integrale sind, da es von meinem Statistik-Skript ist (welches aber keine Mass-Theorie voraussetzt).

Ja, Fubini sagt mir was, seh ich hier aber nicht...(?)

hagman aktiv_icon

23:34 Uhr, 12.08.2012

Naja, wenn es um Statistik geht, sollte man mit Lebesgue arbeiten.

Zur Anwendbarkeit von Fubinit (oder Fubini-Tonellei) sollte man möglicherweise noch ein paar milde Voraussetzungen über

f

wissen (zum Beispiel Existenz von

\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{z} | f (x, t - x) | d t d x)

Miausch aktiv_icon

17:34 Uhr, 13.08.2012

Ok.
Ich werde bei den Hilfsassistenten nachfragen, vielen Dank.

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