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Ableitung allgemeine Exponentialfunktion und ln

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Differentiation

Funktionen

Tags: Ableitung, Differentiation, Exponentialfunktion, Funktion

limes21 aktiv_icon

15:08 Uhr, 24.07.2020

Hallo liebes Forum,

ich würde gerne wissen, auch wenn diese Frage vermutlich recht dämlich ist, warum bei der Ableitung von Exponentialfunktionen deren Basis nicht

e

ist, gilt : f´(x)=

a^{x} \cdot ln (a)

.
Dabei weiß ich schon, dass man über die h-Methode allgemein zu der Form:

a^{x} \cdot lim_{n \to 0} (\frac{a^{h} - 1}{h})

gelangt und hierbei der Ausdruck, für den der Grenzwert gebildet wird, eine Konstante "c" ergibt, deren Wert von der Basis a abhängig ist und das dieser Wert die Ableitung an der Stelle

x = 0

ist.
Jetzt ist mir auch klar, dass man den Wert von

c

bspw. mit dem Taschenrechner annähern kann.
Was mir jetzt überhaupt nicht klar ist, ist auf welchem Wege der natürliche Logarithmus hier ins Spiel kommt bzw. warum man diesen benutzt, um abzuleiten und wieso also f´(0)=ln(a)=c gilt.
Es wäre sehr lieb, wenn mir das jemand "herleiten"/erklären könnte.

LG

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15:10 Uhr, 24.07.2020

a^{x} = e^{{ln a}^{x}} = e^{x \cdot l n a}

Damit sollte es kein Problem sein.

vgl:
matheguru.com/differentialrechnung/ableitung-einer-exponentialfunktion.html

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15:40 Uhr, 24.07.2020

Eine Klammer wäre mMn schon günstig:

a^{x} = {(e^{\ln (a)})}^{x} = e^{\ln (a) \cdot x}

Roman-22

16:05 Uhr, 24.07.2020

>

Eine Klammer wäre mMn schon günstig:
nicht unbedingt, denn es funkt ja auch mit dem Ausdruck, den supporter gepostet hat.
Mit (nicht zwingend nötigen) Klammern lautet dieser ja

a^{x} = e^{ln (a^{x})} = e^{x \cdot ln (a)}

{ln a}^{x}

kann nicht

{(ln a)}^{x}

bedeuten, denn das müsste als

{ln}^{x} a

geschrieben werden.

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16:15 Uhr, 24.07.2020

Neulich las ich irgendwo:

{ln (x)}^{2} = {ln}^{2} (x)

Ist das zulässig?

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16:24 Uhr, 24.07.2020

Sehe ich nicht so. Es ist eben alles eine Frage der Notation. Und diese ist nicht einheitlich und somit nicht immer eindeutig. So wie ich es geschrieben habe ist es aber eindeutig. Hier kann man dann auch glasklar die Rechenregeln für Exponenten anwenden.

\ln (a)^{x}

habe ich schon oft gesehen. Und wenn man die Klammern wegelässt ist die Konfusion perfekt. Prinzipiell vertrete ich die Auffassung, dass Argumente von trigonometrischen Funktionen immer in Klammern gesetzt werden müssen.
Edit: Supporter hat beispielhaft das Problem gezeigt.

Roman-22

17:08 Uhr, 24.07.2020

Ist das zulässig?
Meiner Meinung nach, ja. Der Exponent steht deutlich außerhalb der Argumentklammer und kann daher nicht auf das Argument wirken, folglich wird die Funktion potenziert.

Generell ist ja

{f (x)}^{n}

die korrekte Schreibweise, die man, wenn man auf Nummer Sicher gehen will, auch als

{(f (x))}^{n}

schreiben kann, aber nicht muss.
Die Schreibweise

f^{n} (x)

wäre hier aber NICHT zulässig. Diese ist nur bei benannten Funktionen erlaubt, bei denen auch die Umehrung einen eigenen Namen hat.
Also zb bei Sinus

\to {sin}^{2} \frac{π}{3} = \frac{3}{4}

und

{sin}^{- 1} \frac{π}{6} = 2,

denn

{sin}^{- 1}

bedeutet hier eben nicht die Umkehrung wie etwa bei einem allgemeinen

f (x)

. Hat die Umkehrung einer Funktion eine eigene Bezeichnung (wie hier eben arcsin), dann ist diese auch zwingend zu verwenden und dafür darf man dann aber eben auch die bequeme Kurzschreibweise

{sin}^{3} x

für

{(sin (x))}^{3}

verwenden.

Ich glaube, dass kaum jemand bei

{ln}^{- 1} x

an die Exponentialfunktion denkt, sondern das natürlich richtig als

\frac{1}{ln x}

interpretiert. Es ist unbegreiflich, warum so viele diese Vernunft bei

{sin}^{- 1} x

über Bord werfen und diese Bezeichnung fälschlicherweise anstelle von arcsin

x

nutzen. Sind da wirklich nur die falschen TR Beschriftungen Schuld?

limes21 aktiv_icon

17:47 Uhr, 24.07.2020

Hi,

erst einmal Danke, dass ihr euch die Zeit genommen habt, auf meine Frage zu antworten.
Also für die ganz blöden: dass heißt, dass für die Ableitung von Exponentialfunktionen generell immer der Basiswechsel zu "e" vollzogen wird richtig?

Das würde doch dann heißen, dass bei der h-Methode folgender Ausdruck steht:

e^{ln (a^{x})} \cdot lim_{h \to 0} (\frac{e^{ln (a^{h})} - 1}{h}) =

f´(x)

und dass der Ausdruck

lim_{h \to 0} (\frac{e^{ln (a^{h})} - 1}{h})

so umgeformt wird, dass der Grenzwert

ln (a)

ergibt.

Ich kapier nicht, wie man den Ausdruck dahingehend umformt und worin, wenn man jetzt diese Rechnung hier betrachtet, der Nutzen vom Basiswechsel zu

e

besteht? Bzw. sehe ich den Zusammenhang zur Eigenschaft von

e

nicht, dass

f (x) = e^{x}

und f´(x)=

e^{x},

die ja aber wohl irgendwas damit zutun haben muss ? Ansonsten könnte ich ja auch einfach alles mit dem 10er Log. umschreiben.

Roman-22

18:47 Uhr, 24.07.2020

Ich glaube, dass die Diskussion hier ein wenig an deiner Frage vorbei gelaufen ist.
Für das, was dir vorgeschlagen wurde, muss man ja bereits einiges voraussetzen:

a)

die Ableitung von

e^{x}

nach

x

ist wieder

e^{x}

b)

die Ketten- und Faktorregel beim Differenzieren

Wenn ich dich richtig verstanden habe, möchtest du aber die Ableitung mithilfe der h-Methode ermitteln und bist bereits gelandet bei

\frac{d}{d x} a^{x} = lim_{h \to 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h} = a^{x} \cdot (lim_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h})

Es ist dir klar, dass Grenzwert in der Klammer eine Konstante ist, welche von a abhängt und du möchtest wissen, warum das genau

ln a

ist. Richtig?

Das ist ein wenig ein Henne-Ei Problem, weil es darauf ankommt, was man bereits als bekannt voraussetzen darf und wie zB für dich der natürliche Logarithmus oder die Eulersche Zahl definiert sind.

Stellen wir uns also mal dumm und nennen den Grenzwert

lim_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = L

.
Aus purem Übermut definieren wir nun eine Zahl

E = a^{\frac{1}{L}},

was ja auch

a = E^{L}

bedeutet. Nach der Definition eines Logarithmus als Hochzahl ist

L

also der Logarithmus von a zur Basis

E : L = {log}_{E} a

Interessieren wir uns nun für die Ableitung von

E^{x}

. Nach Obigem ist

\frac{d}{d x} E^{x} = E^{x} \cdot L

mit

L = {log}_{E} E = 1

Also

\frac{d}{d x} E^{x} = E^{x}

. Das ist aber eine charakterisierende Eigenschaft der Eulerschen Zahl

e,

woraus (wenn man das weiß) eben

E = e

folgt und damit auch

L = {log}_{E} (a) = ln a

.

Tante Wiki hält dazu auch noch eine "Motivation" parat, die auf die bekanntere Definition von

e

als

e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

abzielt.
de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Motivation

limes21 aktiv_icon

20:54 Uhr, 24.07.2020

Hi,

perfekt, genau das wollte ich wissen.
Jetzt konnte ich es nachvollziehen, vielen Dank für deine Hilfe.

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