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Ableitung arcsin(x)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

anonymous

16:12 Uhr, 13.01.2010

Hallo,
wir sollten die Ableitung der Umkehrfunktion von Sinus berechnen, also
die Ableitung von arcsin(x)

: [- 1,1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

Ich weiß bei dieser Aufgabe gar nicht wo ich anfangen soll, kann mir jemand einen Tipp geben?

gruß, schorch

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Astor aktiv_icon

16:29 Uhr, 13.01.2010

Hallo,
arcsinx ist die Umkehrfunktion von sinx.
Es gibt einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen von Funktion und Umkehrfunktion.
z.B.

f (x) = x^{2}

dann

f ʹ (x) = 2 x

g (y) = \sqrt{y}

, dann

g ʹ (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}}

Schreibt man z. B.

f (x) = x^{2} = y

so hat man auch:

x = \sqrt{y}

Damit gilt:

f ʹ * g ʹ = \frac{2 * \sqrt{y}}{2 * \sqrt{y}} = 1

Also hier:

f (x) = a r c s i n x

g (y) = s i n y

g ʹ (y) = c o s y

also:

f ʹ (y) = \frac{1}{c o s y}

f ʹ (y) = \frac{1}{c o s (a r c s i n x)}

Gruß Astor

anonymous

17:54 Uhr, 13.01.2010

Hallo,
danke, soweit hab ichs verstanden.
Nur danach komm ich nicht weiter, also bei:

f' (y) =

1/(cos(arcsin (x)

))

wie komm ich da irgendwann zu

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

? Da es was mit Umkehrfunktion zu tun hat, würde ich ja behaupten dass der Schritt davor irgendwie 1/(sqrt(1-(sin(arcsin(x)^2)))) ist?

gruß, schorch

pakaKoni aktiv_icon

18:32 Uhr, 13.01.2010

Ja denn das ist 1/cos(arcsin(x))
Additionstheorem!

Chiao

anonymous

18:49 Uhr, 13.01.2010

Additionstheoreme? Hatten wir wohl (noch) nicht, konnte aber mit den Recherchen im Netz auch nicht schlau werden.
Kannst du mir kurz erklären, wie man darauf kommt, dass cos(arcsin(x)) = sqrt(1-sin(arcsin(x))^2) ist?

Astor aktiv_icon

19:27 Uhr, 13.01.2010

Hallo,
hier ist der Satz des Pythagoras der Trigonometrie gemeint.

s i n^{x} + c o s^{2} x = 1

Also:

c o s^{2} = 1 - s i n^{2} x

Somit

c o s x = \sqrt{1 - s i n^{2} x}

Jetzt alles klar?
Gruß Astor

anonymous

19:30 Uhr, 13.01.2010

Vielen Dank Astor!
Immer wieder ein tolles Forum... Bei jedem Problem wird einem freundlich und kompetent geholfen :-)

schorch

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