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Ableitung der Fakultät (aus Das Gelbe Rechenbuch)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Ableitung Fakultät, Differentiation, Vollständig Induktion

Hugene aktiv_icon

13:20 Uhr, 03.05.2015

Hallo,

ich befasse mich gerade mit vollständiger Induktion und kann den Beweis eines Beispiels nicht nachvollziehen.

Die folgende vollständige Induktion entnehme ich aus "Das Gelbe Rechenbuch 1" von Peter Furlan.
Auf Seite $133$ steht das 3. Beispiel zur vollständigen Induktion:

Ist $f (x) = ln (1 - \frac{x}{2}),$ so ist $f^{n} (x) = - \frac{(n - 1)!}{{(2 - x)}^{n}}$ für $n \geq 1$

1. Induktionsanfang $n = 1$
zu zeigen: $f' (x) = - \frac{(1 - 1)!}{{(2 - x)}^{1}}$
Beweis: nach der Kettenregel ist $f' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2 - x} = - \frac{(1 - 1)!}{{(2 - x)}^{1}} q . e . d$ .

2. Induktionsschritt $A (n) \Rightarrow A (n + 1)$
Voraussetzung: $f^{n} (x) = - \frac{(n - 1)!}{{(2 - x)}^{n}}$
zu zeigen: $f^{n + 1} (x) = - \frac{n!}{{(2 - x)}^{n}} + 1$

Beweis: Durch Ableiten erhält man:

$f^{n + 1} (x) = (f^{n} (x))'$
$n . V$ . $= (- \frac{(n - 1)!}{{(2 - x)}^{n} + 1})' < - -$
$= - (- n) \frac{(n - 1)!}{{(2 - x)}^{n + 1}} \cdot (- 1) < - -$
$= - \frac{n!}{{(2 - x)}^{n}} + 1$

Ich habe die interessanten Zeilen mit Pfeilen markiert. Ich kann nicht nachvollziehen, wie hier die Ableitung gebildet wird, bzw. wie der Autor von der Zeile mit dem 1. Pfeil zur Zeile mit dem 2. Pfeil kommt.

Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen würde. :-)

Hugene

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

13:31 Uhr, 03.05.2015

$f^{(n + 1)} (x) = [f^{(n)} (x)]' = {[\frac{- (n - 1)!}{{(2 - x)}^{n}}]}^{'} = \frac{{(2 - x)}^{n} \cdot 0 + (n - 1)! \cdot n \cdot {(2 - x)}^{n - 1} \cdot (- 1)}{{(2 - x)}^{2 \cdot n}} = \frac{- n!}{{(2 - x)}^{n + 1}}$
$q . e . d$ .

Hugene aktiv_icon

16:10 Uhr, 03.05.2015

Danke erstmal für die Antwort.

Was mir jetzt noch nicht ganz klar ist:

Die Ableitung wird hier ja mit Hilfe der Quotientenregel gebildet. Wieso ist die Ableitung von des Zählerterms $u (x) = - (n - 1)!$ also $u' (x) = 0$ ?

Wäre nett, wenn du, oder jemand anderes, mir das noch erläutern würde.

Hugene

Hugene aktiv_icon

23:48 Uhr, 03.05.2015

Ok, die Frage hat sich erübrigt. Die Ableitung von $(n - 1)!$ ist $0,$ da ja nach $x$ abgelitten wirde. Nochmal danke für die Hilfe :-)

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