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Ableitung der Umkehrfunktion

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Funktionen

Tags: Funktion

Stefan11

13:54 Uhr, 07.05.2018

Hallo! Ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe bekommen)

Also ich muss die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen mit dem Satz
über die Ableitung der Umkehrfunktion

die Funktion

f (x) = e^{2 x + 3}

Meine Ansätze

f

(x) = 2 \cdot e^{2 x + 3}

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x) - 3}{2}

Und wenn ich alles richtig einsetze kommt raus:

(f^{- 1} (x)) = \frac{1}{\frac{ln (2 \cdot e^{2 x + 3}) - 3}{2}}

Ist das soweit korrekt?

Ich weiß nicht weiter wie ich das vereinfachen kann

Sollte als Ergebnis

\frac{1}{2} x

herauskommen

Danke!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

funke_61 aktiv_icon

15:34 Uhr, 07.05.2018

Hallo,
ich glaube die korrekte Lösung für die Ableitung der Umkehrfunktion wäre

\frac{1}{2 x}

Stefan11

15:50 Uhr, 07.05.2018

Danke) Ich habe das falsch aufgeschrieben)

Wie kommt man allerdings darauf?

Ich habe versucht:

\frac{1}{\frac{ln (2) + ln (e^{2 \cdot x + 3}) - 3}{2}}

\frac{1}{\frac{ln (2) + 2 x + 3 - 3}{2}}

Wie werde ich

ln (2)

los?

funke_61 aktiv_icon

16:04 Uhr, 07.05.2018

um welchen Faktor ist denn die Ableitung also f‘(x) größer als

f (x)

?
Denn wenn Du den oben genannten Satz anwenden sollst, dann fehlt Dir eigentlich nur dieser Faktor
;-)

Stefan11

16:13 Uhr, 07.05.2018

Ich verstehe nicht was du meinst(

funke_61 aktiv_icon

16:38 Uhr, 07.05.2018

Bitte schau Dir in
www.frustfrei-lernen.de/mathematik/umkehrfunktion-ableiten.html
zunächt das Beispiel

f (x) = e^{x}

an und übertrage dann diesen Weg auf Dein Problem.

funke_61 aktiv_icon

09:30 Uhr, 08.05.2018

Jetzt probiere ich es mal ganz anders zu erklären:
Die korrekte Formel lautet:

(f^{- 1})' (x) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (x))} = \frac{1}{f' (y)}

oder auch anders notiert:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}

zunächst suchen wir also die Umkehrfunktion der Funktion

f (x) = y = e^{2 x + 3}

ln y = 2 x + 3

ln y - 3 = 2 x

x = \frac{1}{2} ln y - \frac{3}{2}

Das entspricht Deinen Ergebnis (nur hast Du die Umkehrfunktion explizit durch Vertauschen der Variablen gebildet, was wohl zu Deiner Verwirrung beigetragen hat).

Jetzt geht es nur noch darum, die Ableitung dieser Umkehrfunktion zu bilden:

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2 y}

Der Kehrwert davon ist

\frac{1}{f' (y)} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = 2 y

Setzen wir hier für

y

die ursprüngliche Funktion

y = e^{2 x + 3}

wieder ein so steht da

(f^{- 1})' (x) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (x))} = \frac{1}{f' (y)} = 2 \cdot e^{2 x + 3}

und dies entspricht der von Dir ganz oben bereits ermittelten Ableitung der Funktion.
;-)

funke_61 aktiv_icon

11:19 Uhr, 08.05.2018

Es ist warscheinlich aber "andersrum" gemeint (denn nur so stimmt das angegebene Ergebnis wirklich):
Gehen wir also von der Funktion

f (x) = y = \frac{1}{2} (ln x - 3)

aus. Deren Umkehrfunktion wäre

x = e^{2 y + 3}

Bilden wir davon die Ableitung:

\frac{d x}{d y} = 2 \cdot e^{2 y + 3}

Der Kehrwert davon ist

\frac{1}{f' (y)} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{2 \cdot e^{2 y + 3}}

Setzen wir hier für

y

die ursprüngliche Funktion

y = \frac{1}{2} (ln x - 3)

wieder ein und vereinfachen, so steht da

(f^{- 1})' (x) = \frac{1}{f' (f^{- 1}) (x)} = \frac{1}{2 \cdot e^{2 \cdot \frac{1}{2} (ln x - 3) + 3}} = \frac{1}{2 \cdot e^{ln x - 3 + 3}} = \frac{1}{2 \cdot e^{ln x}} = \frac{1}{2 x}

und dies entspräche der Ableitung der Funktion

f (x) = \frac{1}{2} (ln x - 3)

;-)

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