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Ableitung der Umkehrfunktion von arsinh(x)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Heavenhell aktiv_icon

20:22 Uhr, 08.03.2013

GUten Abend,

komm leider bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen sie die ABleitung von g(x)=arsinh(x) mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion.

Nun ist die Umkehrfunktion Sinh(x)

(f^-1(x))'=1/(f'(f^-1(x)))

Ableitung von Sinh(x) ist Cosh(x)

(f^-1(x))'=1/(Cosh(ArSinH(x))

könnte ich jetzt glaub ich noch umformen zu

=1/sqrt(sinh^2(arsinh(x))+1)

soweit richtig ?

nun ja komme aber leider nicht auf das Ergebnis von

g'(x)=1/sqrt(1+x^2)

wisst ihr wie?
danke für eure bemühungen

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

20:38 Uhr, 08.03.2013

y=arsinh(x)

x = sinh (y)

\frac{d x}{d y} = cosh (y)

\to

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cosh (y)}

bekanntlich ist ja

cosh (y) = \sqrt{1 + {sinh}^{2} (y)} = \sqrt{1 + x^{2}}

also:

y=arsinh(x)

. .

\to y' = \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

ok?

michaL aktiv_icon

20:50 Uhr, 08.03.2013

Hallo,

@Heavenhell:

Deine letzte Gleichung lautet:

(f^{- 1}) ʹ = \frac{1}{\sinh^{2} (arsinh (x)) + 1}

Nun verwende doch einfach die nahezu triviale Gleichung:

x = \sinh (arsinh (x))

Mfg Michael

Heavenhell aktiv_icon

20:55 Uhr, 08.03.2013

gut ich hab dann (f−1)ʹ=1/(sinh^2(arsinh(x))+1) das wird dann zu 1/sinh(x)+1 da das arsinh und sinh sich aufheben hab ich recht ?
hmm würde aber immernoch nicht passen

Heavenhell aktiv_icon

20:57 Uhr, 08.03.2013

genau und warum ist bekanntlich

cosh(y)=1+sinh2(y)=1+x2 <- woher kommt das :-) ?
danke

achso das hab ich hier verstanden das ist der pythagoras und dann von oben das x = sinh(y) okay aber über meine andere rechnung klappt dasn nicht ?

michaL aktiv_icon

21:28 Uhr, 08.03.2013

Hallo,

hm, du solltest vielleicht zu den ursprünglicheren Schreibweisen zurückkehren, solange du die anderen noch nicht wirklich beherrschst.

Mit

\sinh^{2} (x)

ist

{[\sinh (x)]}^{2}

gemeint.
Deshalb ist

\sinh^{2} (arsinh (x)) =

?

Mfg Michael

Heavenhell aktiv_icon

21:39 Uhr, 08.03.2013

keine ahnung

ich würde eigentlich ja sagen sinh(x)

michaL aktiv_icon

21:43 Uhr, 08.03.2013

Hallo,

schrieb ich dir nicht, wie du das Quadrat (zwar auf Kosten von weiteren Klammern) umschreiben kannst? Wende das doch bitte auch an!

Mfg Michael

Heavenhell aktiv_icon

21:50 Uhr, 08.03.2013

ja klar versuch ich doch

(sinh(x))^2*arsinh(x) da hebt sich doch dann ein sinh(x) mit arsinh(x) auf und es bleibt x*sinh(x) ?!

michaL aktiv_icon

22:04 Uhr, 08.03.2013

Hallo,

kannst du mir erklären, wie du auf das Malzeichen gekommen bist?
Bist du sicher, dass das, was du studierst, deine mathematischen Fähigkeiten nicht doch extrem strapaziert?

Mfg Michael

PS: